Номер 3.8, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.8 Дано множество $-8,1; \sqrt{2}; \frac{17}{7}$. Перечислите все его подмножества, состоящие из двух чисел:

а) разного знака;

б) положительных;

в) рациональных;

г) среди которых есть иррациональное число.

Дано множество $M = \{-8,1; \sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$. Для решения задачи сначала проанализируем свойства каждого элемента этого множества.
Элемент $-8,1$ является отрицательным рациональным числом (так как $-8,1 = -\frac{81}{10}$).
Элемент $\sqrt{2}$ является положительным иррациональным числом.
Элемент $\frac{17}{7}$ является положительным рациональным числом.
Всего из трех элементов множества можно составить три подмножества, состоящих из двух чисел: $\{-8,1; \sqrt{2}\}$, $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$ и $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.
Рассмотрим каждое из условий задачи.

Требуется найти подмножества, состоящие из чисел разного знака, то есть одно число должно быть положительным, а другое — отрицательным. В исходном множестве есть одно отрицательное число ($-8,1$) и два положительных ($\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$). Таким образом, мы можем составить две пары, комбинируя отрицательное число с каждым из положительных:
1. Пара из $-8,1$ и $\sqrt{2}$, образующая подмножество $\{-8,1; \sqrt{2}\}$.
2. Пара из $-8,1$ и $\frac{17}{7}$, образующая подмножество $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{-8,1; \sqrt{2}\}$, $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.

Требуется найти подмножества, состоящие только из положительных чисел. В исходном множестве есть два положительных числа: $\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$. Из них можно составить только одно подмножество из двух элементов. Число $-8,1$ является отрицательным, поэтому оно не может входить в такое подмножество.
Единственная возможная пара — это $\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$, которая образует подмножество $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.

Требуется найти подмножества, состоящие только из рациональных чисел. В исходном множестве есть два рациональных числа: $-8,1$ и $\frac{17}{7}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным и не может входить в искомые подмножества. Из двух рациональных чисел можно составить только одну пару.
Эта пара состоит из $-8,1$ и $\frac{17}{7}$, образуя подмножество $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.

Требуется найти подмножества, в которых присутствует хотя бы одно иррациональное число. В исходном множестве единственное иррациональное число — это $\sqrt{2}$. Следовательно, искомые подмножества должны обязательно содержать $\sqrt{2}$ в паре с любым другим элементом множества.
1. Пара из $\sqrt{2}$ и $-8,1$, образующая подмножество $\{-8,1; \sqrt{2}\}$.
2. Пара из $\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$, образующая подмножество $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{-8,1; \sqrt{2}\}$, $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.