Номер 3.14, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.14 Для множеств A, B, C, D задачи 3.13 изобразите на числовой прямой множества:

а) $A \cup B$;

б) $A \cup D$;

в) $B \cup D$;

г) $A \cup B \cup C \cup D$.

Для решения задачи воспользуемся определениями множеств из задачи 3.13, которые заданы следующими числовыми промежутками:

• Множество $A$: $ \{x \mid -1 \le x < 2\} $, что соответствует числовому промежутку $ A = [-1, 2) $.
• Множество $B$: $ \{x \mid 0 \le x \le 3\} $, что соответствует числовому промежутку $ B = [0, 3] $.
• Множество $C$: $ \{x \mid x > 1\} $, что соответствует числовому промежутку $ C = (1, +\infty) $.
• Множество $D$: $ \{x \mid x \le 0\} $, что соответствует числовому промежутку $ D = (-\infty, 0] $.

Объединение множеств (обозначается символом $ \cup $) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Необходимо найти объединения указанных множеств и изобразить их на числовой прямой.

а) $ A \cup B $;

Находим объединение множеств $ A = [-1, 2) $ и $ B = [0, 3] $. Изобразим эти промежутки на числовой прямой. Множество A включает числа от -1 (включительно) до 2 (не включительно). Множество B включает числа от 0 (включительно) до 3 (включительно). Объединение этих двух промежутков будет содержать все числа от наименьшей границы, то есть -1, до наибольшей, то есть 3. Так как -1 принадлежит множеству A, а 3 принадлежит множеству B, обе эти точки входят в объединение. Таким образом, результирующий промежуток будет от -1 до 3, включая концы.

На числовой прямой это изображается как отрезок с закрашенными точками в -1 и 3.

Ответ: $ [-1, 3] $.

б) $ A \cup D $;

Находим объединение множеств $ A = [-1, 2) $ и $ D = (-\infty, 0] $. Множество D — это луч, включающий все числа, меньшие или равные 0. Множество A — это полуинтервал от -1 (включительно) до 2 (не включительно). Объединяя эти множества, мы берем все числа из D и добавляем к ним числа из A, которых еще нет. Это даст нам непрерывный промежуток, начинающийся от $ -\infty $ и заканчивающийся в крайней правой точке множества A, то есть в точке 2. Поскольку 2 не входит в множество A, она не войдет и в объединение.

На числовой прямой это изображается как луч, идущий из $ -\infty $ до точки 2, с выколотой точкой в 2.

Ответ: $ (-\infty, 2) $.

в) $ B \cup D $;

Находим объединение множеств $ B = [0, 3] $ и $ D = (-\infty, 0] $. Множество D — это луч всех чисел до 0 включительно. Множество B — это отрезок от 0 до 3 включительно. Точка 0 является общей для обоих множеств и служит "связующим звеном". Объединение этих двух множеств покрывает все числа от $ -\infty $ до 3. Поскольку 3 входит в множество B, эта точка будет включена в итоговый промежуток.

На числовой прямой это изображается как луч, идущий из $ -\infty $ до точки 3, с закрашенной точкой в 3.

Ответ: $ (-\infty, 3] $.

г) $ A \cup B \cup C \cup D $.

Находим объединение всех четырех множеств: $ A = [-1, 2) $, $ B = [0, 3] $, $ C = (1, +\infty) $ и $ D = (-\infty, 0] $. Проанализируем покрытие числовой прямой:

• $ D = (-\infty, 0] $ покрывает левую часть оси до 0.
• $ B = [0, 3] $ покрывает числа от 0 до 3 включительно.
• $ C = (1, +\infty) $ покрывает правую часть оси от 1.
• $ A = [-1, 2) $ покрывает числа от -1 до 2.

Рассмотрим объединение всех множеств поэтапно. Объединение $ D \cup B $ дает нам $ (-\infty, 3] $. Объединение $ A $ с этим результатом не изменяет его правую границу, но расширяет его, если это необходимо; однако $ [-1, 2) $ уже содержится в $ (-\infty, 3] $, поэтому $ A \cup B \cup D = (-\infty, 3] $.
Теперь объединим полученное множество с $ C = (1, +\infty) $. Нам нужно найти $ (-\infty, 3] \cup (1, +\infty) $.
Первое множество включает все числа до 3 включительно. Второе множество включает все числа больше 1. Вместе они покрывают всю числовую прямую без пропусков. Любое действительное число принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Следовательно, их объединение есть множество всех действительных чисел $ \mathbb{R} $.

На числовой прямой это изображается как вся числовая ось.

Ответ: $ (-\infty, +\infty) $.