Номер 3.21, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите задачи, используя круги (диаграммы) Эйлера:

3.21 Множество $A$ состоит из 99 элементов, множество $B$ — из 199 элементов, а множество $A \cap B$ — из 73 элементов. Сколько элементов:

а) принадлежит множеству $A$, но не принадлежит множеству $B$;

б) принадлежит множеству $B$, но не принадлежит множеству $A$;

в) принадлежит множеству $A \cup B$?

Для решения задачи воспользуемся диаграммами Эйлера и основными формулами теории множеств. Обозначим количество элементов в множестве $X$ как $|X|$. По условию задачи нам даны следующие значения: количество элементов в множестве A равно $|A| = 99$, количество элементов в множестве B равно $|B| = 199$, а количество элементов в их пересечении, $A \cap B$, равно $|A \cap B| = 73$.

а) принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B;
Чтобы найти количество элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B, нужно из общего числа элементов множества A вычесть количество элементов, которые принадлежат обоим множествам (их пересечению). На диаграмме Эйлера это та часть круга A, которая не пересекается с кругом B. Эта операция соответствует нахождению мощности разности множеств $A \setminus B$.
Формула для вычисления: $|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$.
Подставим известные значения:
$|A \setminus B| = 99 - 73 = 26$.
Таким образом, 26 элементов принадлежат множеству A, но не B.
Ответ: 26

б) принадлежит множеству B, но не принадлежит множеству A;
Аналогично, чтобы найти количество элементов, которые принадлежат множеству B, но не принадлежат множеству A, нужно из общего числа элементов множества B вычесть количество элементов их пересечения. На диаграмме Эйлера это та часть круга B, которая не пересекается с кругом A. Эта операция соответствует нахождению мощности разности множеств $B \setminus A$.
Формула для вычисления: $|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$.
Подставим известные значения:
$|B \setminus A| = 199 - 73 = 126$.
Таким образом, 126 элементов принадлежат множеству B, но не A.
Ответ: 126

в) принадлежит множеству $A \cup B$?
Чтобы найти общее количество элементов в объединении множеств A и B ($A \cup B$), мы можем использовать формулу включений-исключений. Она гласит, что мощность объединения двух множеств равна сумме их мощностей минус мощность их пересечения. Вычитание пересечения необходимо, чтобы не считать дважды элементы, принадлежащие обоим множествам.
Формула: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
Подставим известные значения:
$|A \cup B| = 99 + 199 - 73 = 298 - 73 = 225$.
Также можно найти это значение, сложив количество элементов, которые есть только в A, только в B, и в их пересечении (три непересекающиеся области на диаграмме Эйлера), используя результаты из пунктов а) и б):
$|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = 26 + 126 + 73 = 152 + 73 = 225$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 225