Номер 3.19, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.19 Известно, что $a, b, c, d$ — попарно различные числа. В записи «* $\square \{\Delta, c, d\}$» на места * и $\Delta$ можно поставить числа $a$ или $b$, а на место $\square$ можно поставить знак $\in$ или знак $\notin$. Будут получаться различные утверждения.

а) Сколько получится утверждений, в которых нет числа b?

Утверждение имеет вид $* \square \{\Delta, c, d\}$.
Чтобы в утверждении не было числа $b$, оно не должно стоять ни на месте $*$, ни на месте $\Delta$.
- На место $*$ можно поставить только число $a$ (1 вариант).
- На место $\Delta$ можно поставить только число $a$ (1 вариант).
- На место $\square$ можно поставить любой из двух знаков: $\in$ или $\notin$ (2 варианта).
Общее число таких утверждений находится перемножением числа вариантов для каждой позиции: $1 \times 2 \times 1 = 2$.
Это утверждения: $a \in \{a, c, d\}$ и $a \notin \{a, c, d\}$.
Ответ: 2.

б) Сколько получится утверждений, в которых использован знак ∉?

Чтобы в утверждении был использован знак $\notin$, его нужно поставить на место $\square$.
- На место $*$ можно поставить любое из двух чисел: $a$ или $b$ (2 варианта).
- На место $\square$ можно поставить только знак $\notin$ (1 вариант).
- На место $\Delta$ можно поставить любое из двух чисел: $a$ или $b$ (2 варианта).
Общее число таких утверждений: $2 \times 1 \times 2 = 4$.
Ответ: 4.

в) Сколько всего утверждений получится?

Для составления утверждения нужно сделать три независимых выбора:
- Выбор числа для позиции $*$: $a$ или $b$ (2 варианта).
- Выбор знака для позиции $\square$: $\in$ или $\notin$ (2 варианта).
- Выбор числа для позиции $\Delta$: $a$ или $b$ (2 варианта).
Общее число всех возможных утверждений равно произведению числа вариантов для каждого выбора: $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Ответ: 8.

г) Какую часть из всех утверждений составляют неверные утверждения, начинающиеся с числа a?

Сначала найдем все утверждения, начинающиеся с числа $a$. Это означает, что на месте $*$ стоит $a$.
- На месте $*$ стоит $a$ (1 вариант).
- На месте $\square$ может стоять $\in$ или $\notin$ (2 варианта).
- На месте $\Delta$ может стоять $a$ или $b$ (2 варианта).
Всего таких утверждений $1 \times 2 \times 2 = 4$. Перечислим их и определим их истинность, учитывая, что числа $a, b, c, d$ попарно различны.
1. $a \in \{a, c, d\}$: Утверждение истинно, так как элемент $a$ содержится в множестве.
2. $a \in \{b, c, d\}$: Утверждение неверно, так как $a \neq b$, $a \neq c$ и $a \neq d$.
3. $a \notin \{a, c, d\}$: Утверждение неверно, так как оно является отрицанием истинного утверждения (1).
4. $a \notin \{b, c, d\}$: Утверждение истинно, так как оно является отрицанием неверного утверждения (2).
Таким образом, существует 2 неверных утверждения, начинающихся с числа $a$.
Всего, как мы выяснили в пункте в), существует 8 различных утверждений.
Искомая часть равна отношению числа неверных утверждений, начинающихся с $a$, к общему числу утверждений: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.