Номер 3.16, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.16 a) Найдите все натуральные числа, кубы которых — трёхзначные числа;

б) запишите множество $M$ таких трёхзначных чисел, перечислив их в порядке убывания;

в) запишите множество $A$ последних цифр элементов множества $M$, перечислив их в порядке возрастания;

г) сколькими способами можно перечислить различные между собой вторые цифры чисел из множества $M$?

а) Нам нужно найти все натуральные числа $n$, кубы которых, $n^3$, являются трёхзначными числами. Трёхзначные числа — это целые числа в диапазоне от 100 до 999. Таким образом, мы ищем решения неравенства $100 \le n^3 \le 999$ в натуральных числах.

Подберём значения $n$, последовательно возводя натуральные числа в куб:

$4^3 = 64$ (это двузначное число, поэтому $n > 4$).

$5^3 = 125$ (это трёхзначное число, значит 5 — первое искомое число).

$6^3 = 216$ (трёхзначное).

$7^3 = 343$ (трёхзначное).

$8^3 = 512$ (трёхзначное).

$9^3 = 729$ (трёхзначное).

$10^3 = 1000$ (это четырёхзначное число, поэтому $n < 10$).

Следовательно, искомые натуральные числа — это все целые числа от 5 до 9 включительно.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

б) Множество $M$ состоит из трёхзначных чисел, которые являются кубами натуральных чисел, найденных в пункте а). Это кубы чисел 5, 6, 7, 8, 9.

Вычислим эти кубы:

$5^3 = 125$

$6^3 = 216$

$7^3 = 343$

$8^3 = 512$

$9^3 = 729$

Теперь необходимо перечислить элементы множества $M$ в порядке убывания.

Ответ: $M = \{729, 512, 343, 216, 125\}$.

в) Множество $A$ — это множество последних цифр элементов множества $M$. Элементы множества $M$: 729, 512, 343, 216, 125.

Найдём последние цифры каждого элемента:

Последняя цифра числа 729 — это 9.

Последняя цифра числа 512 — это 2.

Последняя цифра числа 343 — это 3.

Последняя цифра числа 216 — это 6.

Последняя цифра числа 125 — это 5.

Таким образом, множество $A$ состоит из цифр $\{9, 2, 3, 6, 5\}$. Согласно условию, их нужно перечислить в порядке возрастания.

Ответ: $A = \{2, 3, 5, 6, 9\}$.

г) Требуется найти, сколькими способами можно перечислить различные между собой вторые цифры чисел из множества $M$.

Сначала найдём вторые цифры (цифры в разряде десятков) для каждого числа из множества $M = \{729, 512, 343, 216, 125\}$:

Вторая цифра числа 729 — это 2.

Вторая цифра числа 512 — это 1.

Вторая цифра числа 343 — это 4.

Вторая цифра числа 216 — это 1.

Вторая цифра числа 125 — это 2.

Выпишем множество различных (неповторяющихся) вторых цифр. Мы получили цифры 1, 2, 4. Итак, множество различных вторых цифр: $\{1, 2, 4\}$.

Количество элементов в этом множестве равно 3. Вопрос "сколькими способами можно перечислить" означает, что нужно найти число всех возможных упорядоченных последовательностей (перестановок) из этих трёх элементов. Число перестановок из $k$ различных элементов вычисляется по формуле $P_k = k!$.

В нашем случае $k=3$, поэтому количество способов равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6.