Номер 3.18, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.18 В записи «$* \in \{4, \Delta, 9\}$» вместо значков $*$ и $\Delta$ можно поставить любые цифры, меньшие 3. Будут получаться различные утверждения:

$0 \in \{4, 0, 9\}$, $1 \in \{4, 2, 9\}$ и т. п.

а) Сколько получится утверждений, в которых на первом месте стоит цифра 2?

б) Сколько получится утверждений, в которых на месте $\Delta$ стоит положительная цифра?

в) Сколько всего утверждений получится?

г) Какую часть из всех утверждений составляют верные утверждения?

а) Согласно условию, вместо значков $*$ и $\Delta$ можно поставить любые цифры, меньшие 3. Такими цифрами являются 0, 1 и 2. В данном подпункте требуется найти количество утверждений, в которых на первом месте (на месте значка $*$) стоит цифра 2. Это означает, что значение $*$ зафиксировано: $* = 2$. При этом значение $\Delta$ может быть любым из доступного набора цифр {0, 1, 2}. Таким образом, для $\Delta$ есть 3 возможных варианта, что приводит к 3 различным утверждениям: $2 \in \{4, 0, 9\}$, $2 \in \{4, 1, 9\}$ и $2 \in \{4, 2, 9\}$.
Ответ: 3

б) Требуется найти количество утверждений, в которых на месте $\Delta$ стоит положительная цифра. Из доступного набора цифр {0, 1, 2} положительными являются 1 и 2. Значит, для $\Delta$ есть 2 возможных варианта. Для значка $*$ по-прежнему доступны все 3 варианта: {0, 1, 2}. Чтобы найти общее количество таких утверждений, нужно перемножить количество вариантов для каждого значка, используя комбинаторное правило произведения: $N = (\text{количество вариантов для } *) \times (\text{количество вариантов для } \Delta) = 3 \times 2 = 6$.
Ответ: 6

в) Требуется найти общее количество утверждений, которые можно составить. Для значка $*$ есть 3 возможных варианта: {0, 1, 2}. Для значка $\Delta$ также есть 3 возможных варианта: {0, 1, 2}. Общее количество утверждений равно произведению числа вариантов для каждого значка: $N_{общ} = (\text{количество вариантов для } *) \times (\text{количество вариантов для } \Delta) = 3 \times 3 = 9$.
Ответ: 9

г) Требуется найти, какую часть из всех утверждений составляют верные утверждения. Утверждение вида $* \in \{4, \Delta, 9\}$ является верным, если число, стоящее на месте $*$, является одним из элементов множества $\{4, \Delta, 9\}$. То есть, утверждение верно, если $*=4$ или $*=\Delta$ или $*=9$. По условию, $*$ может принимать только значения из набора {0, 1, 2}. Следовательно, равенства $*=4$ и $*=9$ невозможны. Таким образом, утверждение будет верным только в том случае, если $* = \Delta$. Найдем количество таких случаев. Так как для $*$ и $\Delta$ доступны одни и те же значения {0, 1, 2}, то равенство $*=\Delta$ возможно в трех случаях: при $* = 0, \Delta = 0$ (утверждение $0 \in \{4, 0, 9\}$); при $* = 1, \Delta = 1$ (утверждение $1 \in \{4, 1, 9\}$); при $* = 2, \Delta = 2$ (утверждение $2 \in \{4, 2, 9\}$). Всего существует 3 верных утверждения. Общее количество утверждений, как мы нашли в пункте (в), равно 9. Искомая часть равна отношению количества верных утверждений к общему количеству утверждений: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$