Номер 3.22, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.22 На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 учеников, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив:

а) по бегу;

б) по прыжкам в высоту;

в) по прыжкам в высоту при условии, что не выполнен норматив по бегу?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $B$ — множество учеников, выполнивших норматив по бегу, а $H$ — множество учеников, выполнивших норматив по прыжкам в высоту.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие данные:
1. Общее количество учеников в классе — 25. Каждый из них выполнил хотя бы один норматив, следовательно, количество учеников в объединении множеств $B$ и $H$ равно 25: $|B \cup H| = 25$.
2. Оба норматива выполнили 7 учеников. Это соответствует пересечению множеств: $|B \cap H| = 7$.
3. 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Это соответствует разности множеств: $|B \setminus H| = 11$.

а) по бегу

Необходимо найти общее количество учеников, выполнивших норматив по бегу, то есть мощность множества $B$ ($|B|$). Множество учеников, сдавших норматив по бегу, можно разделить на две непересекающиеся группы: те, кто сдал только бег ($B \setminus H$), и те, кто сдал и бег, и прыжки ($B \cap H$). Следовательно, чтобы найти общее число сдавших бег, нужно сложить количество учеников в этих двух группах:
$|B| = |B \setminus H| + |B \cap H|$
Подставляя известные значения из условия, получаем:
$|B| = 11 + 7 = 18$
Ответ: 18 учеников.

б) по прыжкам в высоту

Необходимо найти общее количество учеников, выполнивших норматив по прыжкам в высоту, то есть $|H|$. Для этого можно использовать формулу включений-исключений для двух множеств:
$|B \cup H| = |B| + |H| - |B \cap H|$
Из этой формулы выразим искомую величину $|H|$:
$|H| = |B \cup H| - |B| + |B \cap H|$
Мы уже знаем, что $|B \cup H| = 25$, $|B| = 18$ (из решения пункта а), и $|B \cap H| = 7$. Подставим эти значения в формулу:
$|H| = 25 - 18 + 7 = 14$
Ответ: 14 учеников.

в) по прыжкам в высоту при условии, что не выполнен норматив по бегу

Этот вопрос сводится к нахождению числа учеников, которые выполнили норматив только по прыжкам в высоту. Это количество учеников в множестве $H$, которые не входят в множество $B$, то есть искомая величина — это $|H \setminus B|$.
Общее число учеников, сдавших хотя бы один норматив ($|B \cup H|$), равно сумме трех непересекающихся групп: сдавших только бег ($|B \setminus H|$), сдавших только прыжки ($|H \setminus B|$), и сдавших оба норматива ($|B \cap H|$).
$|B \cup H| = |B \setminus H| + |H \setminus B| + |B \cap H|$
Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти $|H \setminus B|$:
$25 = 11 + |H \setminus B| + 7$
$25 = 18 + |H \setminus B|$
$|H \setminus B| = 25 - 18 = 7$
Ответ: 7 учеников.