Номер 3.17, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.17 Запишите заданное множество в виде числового промежутка:

а) ${x | 3(x+1) - x^2 > 5}$;

б) ${x | 18(x^2 + 1) \le -85x}$.

а)

Заданное множество определяется неравенством $3(x + 1) - x^2 > 5$. Для того чтобы записать это множество в виде числового промежутка, необходимо решить данное неравенство.

1. Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
$3x + 3 - x^2 > 5$
$-x^2 + 3x + 3 - 5 > 0$
$-x^2 + 3x - 2 > 0$

2. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x + 2 < 0$

3. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

4. Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=2$. Неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Таким образом, решением неравенства является $1 < x < 2$.

5. Запишем полученное решение в виде числового промежутка.
$(1, 2)$.

Ответ: $(1, 2)$.

б)

Заданное множество определяется неравенством $18(x^2 + 1) \le -85x$. Для того чтобы записать это множество в виде числового промежутка, необходимо решить данное неравенство.

1. Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
$18x^2 + 18 \le -85x$
$18x^2 + 85x + 18 \le 0$

2. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $18x^2 + 85x + 18 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 85^2 - 4 \cdot 18 \cdot 18 = 7225 - 1296 = 5929$.
$\sqrt{D} = \sqrt{5929} = 77$.

3. Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-85 \pm 77}{2 \cdot 18} = \frac{-85 \pm 77}{36}$
$x_1 = \frac{-85 - 77}{36} = \frac{-162}{36} = -\frac{9 \cdot 18}{2 \cdot 18} = -\frac{9}{2}$
$x_2 = \frac{-85 + 77}{36} = \frac{-8}{36} = -\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{2}{9}$

4. Графиком функции $y = 18x^2 + 85x + 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($18 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -\frac{9}{2}$ и $x = -\frac{2}{9}$. Неравенство $18x^2 + 85x + 18 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является $-\frac{9}{2} \le x \le -\frac{2}{9}$.

5. Запишем полученное решение в виде числового промежутка.
$[-\frac{9}{2}, -\frac{2}{9}]$.

Ответ: $[-\frac{9}{2}, -\frac{2}{9}]$.