Номер 3.24, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.24 На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9-го класса читал книги $A$, $B$, $C$. Результаты опроса выглядят так: книгу $A$ прочитали 25 учеников, книгу $B$ — 22 ученика, книгу $C$ — 22 ученика; одну из книг ($A$ или $B$) прочитали 33 ученика, одну из книг ($A$ или $C$) прочитали 32 ученика, одну из книг ($B$ или $C$) — 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников:

a) прочитали только по одной книге;

б) прочитали ровно две книги;

в) не читали ни одной из указанных книг?

Для решения задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $A$, $B$ и $C$ — это множества учеников, прочитавших книги А, B и C соответственно. Общее число учеников в классе — это размер универсального множества $U$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Общее число учеников: $|U| = 40$
• Прочитали книгу А: $|A| = 25$
• Прочитали книгу B: $|B| = 22$
• Прочитали книгу C: $|C| = 22$
• Прочитали хотя бы одну из книг А или В (объединение множеств): $|A \cup B| = 33$
• Прочитали хотя бы одну из книг А или C: $|A \cup C| = 32$
• Прочитали хотя бы одну из книг B или C: $|B \cup C| = 31$
• Прочитали все три книги (пересечение трех множеств): $|A \cap B \cap C| = 10$

Для дальнейших расчетов нам понадобится количество учеников, прочитавших каждую возможную пару книг (пересечения множеств). Найдем их, используя формулу $|X \cap Y| = |X| + |Y| - |X \cup Y|$.

• Количество учеников, прочитавших книги А и В: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 25 + 22 - 33 = 14$.
• Количество учеников, прочитавших книги А и C: $|A \cap C| = |A| + |C| - |A \cup C| = 25 + 22 - 32 = 15$.
• Количество учеников, прочитавших книги B и C: $|B \cap C| = |B| + |C| - |B \cup C| = 22 + 22 - 31 = 13$.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а) прочитали только по одной книге

Чтобы найти количество учеников, прочитавших только одну книгу, необходимо из общего числа читателей каждой книги вычесть тех, кто читал эту книгу вместе с другими. Для этого сначала определим, сколько учеников прочитали ровно две книги.

Количество учеников, прочитавших только книги А и В (но не С), равно разности между всеми, кто читал А и В, и теми, кто читал все три:

$|(A \cap B) \setminus C| = |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 14 - 10 = 4$ ученика.

Аналогично для других пар:

$|(A \cap C) \setminus B| = |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 15 - 10 = 5$ учеников.

$|(B \cap C) \setminus A| = |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 13 - 10 = 3$ ученика.

Теперь можем вычислить количество учеников, прочитавших только одну книгу:

• Только книгу А: $|A| - (|(A \cap B) \setminus C| + |(A \cap C) \setminus B| + |A \cap B \cap C|) = 25 - (4 + 5 + 10) = 25 - 19 = 6$ учеников.
• Только книгу B: $|B| - (|(A \cap B) \setminus C| + |(B \cap C) \setminus A| + |A \cap B \cap C|) = 22 - (4 + 3 + 10) = 22 - 17 = 5$ учеников.
• Только книгу C: $|C| - (|(A \cap C) \setminus B| + |(B \cap C) \setminus A| + |A \cap B \cap C|) = 22 - (5 + 3 + 10) = 22 - 18 = 4$ ученика.

Суммарное количество учеников, прочитавших только по одной книге:

$6 + 5 + 4 = 15$ учеников.

Ответ: 15 учеников.

б) прочитали ровно две книги

Количество учеников, прочитавших ровно две книги, было вычислено как промежуточный шаг при решении пункта а). Это сумма учеников, прочитавших только книги А и В, только А и С, и только В и С.

• Прочитали только А и В: 4 ученика.
• Прочитали только А и С: 5 учеников.
• Прочитали только В и С: 3 ученика.

Общее количество учеников, прочитавших ровно две книги:

$4 + 5 + 3 = 12$ учеников.

Ответ: 12 учеников.

в) не читали ни одной из указанных книг?

Чтобы найти количество учеников, не прочитавших ни одной книги, нужно сначала найти общее число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу ($|A \cup B \cup C|$). Это число равно сумме учеников, прочитавших ровно одну, ровно две и все три книги.

• Прочитали только одну книгу (из пункта а): 15 учеников.
• Прочитали ровно две книги (из пункта б): 12 учеников.
• Прочитали все три книги (дано в условии): 10 учеников.

Общее число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу:

$|A \cup B \cup C| = 15 + 12 + 10 = 37$ учеников.

Количество учеников, не прочитавших ни одной книги, равно разности между общим числом учеников в классе и числом прочитавших хотя бы одну книгу:

$|U| - |A \cup B \cup C| = 40 - 37 = 3$ ученика.

Ответ: 3 ученика.