Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите задачи, используя круги (диаграммы) Эйлера:

3.21 Множество $A$ состоит из 99 элементов, множество $B$ — из 199 элементов, а множество $A \cap B$ — из 73 элементов. Сколько элементов:

а) принадлежит множеству $A$, но не принадлежит множеству $B$;

б) принадлежит множеству $B$, но не принадлежит множеству $A$;

в) принадлежит множеству $A \cup B$?

Для решения задачи воспользуемся диаграммами Эйлера и основными формулами теории множеств. Обозначим количество элементов в множестве $X$ как $|X|$. По условию задачи нам даны следующие значения: количество элементов в множестве A равно $|A| = 99$, количество элементов в множестве B равно $|B| = 199$, а количество элементов в их пересечении, $A \cap B$, равно $|A \cap B| = 73$.

а) принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B;
Чтобы найти количество элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B, нужно из общего числа элементов множества A вычесть количество элементов, которые принадлежат обоим множествам (их пересечению). На диаграмме Эйлера это та часть круга A, которая не пересекается с кругом B. Эта операция соответствует нахождению мощности разности множеств $A \setminus B$.
Формула для вычисления: $|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$.
Подставим известные значения:
$|A \setminus B| = 99 - 73 = 26$.
Таким образом, 26 элементов принадлежат множеству A, но не B.
Ответ: 26

б) принадлежит множеству B, но не принадлежит множеству A;
Аналогично, чтобы найти количество элементов, которые принадлежат множеству B, но не принадлежат множеству A, нужно из общего числа элементов множества B вычесть количество элементов их пересечения. На диаграмме Эйлера это та часть круга B, которая не пересекается с кругом A. Эта операция соответствует нахождению мощности разности множеств $B \setminus A$.
Формула для вычисления: $|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$.
Подставим известные значения:
$|B \setminus A| = 199 - 73 = 126$.
Таким образом, 126 элементов принадлежат множеству B, но не A.
Ответ: 126

в) принадлежит множеству $A \cup B$?
Чтобы найти общее количество элементов в объединении множеств A и B ($A \cup B$), мы можем использовать формулу включений-исключений. Она гласит, что мощность объединения двух множеств равна сумме их мощностей минус мощность их пересечения. Вычитание пересечения необходимо, чтобы не считать дважды элементы, принадлежащие обоим множествам.
Формула: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
Подставим известные значения:
$|A \cup B| = 99 + 199 - 73 = 298 - 73 = 225$.
Также можно найти это значение, сложив количество элементов, которые есть только в A, только в B, и в их пересечении (три непересекающиеся области на диаграмме Эйлера), используя результаты из пунктов а) и б):
$|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = 26 + 126 + 73 = 152 + 73 = 225$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 225

3.22 На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 учеников, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив:

а) по бегу;

б) по прыжкам в высоту;

в) по прыжкам в высоту при условии, что не выполнен норматив по бегу?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $B$ — множество учеников, выполнивших норматив по бегу, а $H$ — множество учеников, выполнивших норматив по прыжкам в высоту.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие данные:
1. Общее количество учеников в классе — 25. Каждый из них выполнил хотя бы один норматив, следовательно, количество учеников в объединении множеств $B$ и $H$ равно 25: $|B \cup H| = 25$.
2. Оба норматива выполнили 7 учеников. Это соответствует пересечению множеств: $|B \cap H| = 7$.
3. 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Это соответствует разности множеств: $|B \setminus H| = 11$.

а) по бегу

Необходимо найти общее количество учеников, выполнивших норматив по бегу, то есть мощность множества $B$ ($|B|$). Множество учеников, сдавших норматив по бегу, можно разделить на две непересекающиеся группы: те, кто сдал только бег ($B \setminus H$), и те, кто сдал и бег, и прыжки ($B \cap H$). Следовательно, чтобы найти общее число сдавших бег, нужно сложить количество учеников в этих двух группах:
$|B| = |B \setminus H| + |B \cap H|$
Подставляя известные значения из условия, получаем:
$|B| = 11 + 7 = 18$
Ответ: 18 учеников.

б) по прыжкам в высоту

Необходимо найти общее количество учеников, выполнивших норматив по прыжкам в высоту, то есть $|H|$. Для этого можно использовать формулу включений-исключений для двух множеств:
$|B \cup H| = |B| + |H| - |B \cap H|$
Из этой формулы выразим искомую величину $|H|$:
$|H| = |B \cup H| - |B| + |B \cap H|$
Мы уже знаем, что $|B \cup H| = 25$, $|B| = 18$ (из решения пункта а), и $|B \cap H| = 7$. Подставим эти значения в формулу:
$|H| = 25 - 18 + 7 = 14$
Ответ: 14 учеников.

в) по прыжкам в высоту при условии, что не выполнен норматив по бегу

Этот вопрос сводится к нахождению числа учеников, которые выполнили норматив только по прыжкам в высоту. Это количество учеников в множестве $H$, которые не входят в множество $B$, то есть искомая величина — это $|H \setminus B|$.
Общее число учеников, сдавших хотя бы один норматив ($|B \cup H|$), равно сумме трех непересекающихся групп: сдавших только бег ($|B \setminus H|$), сдавших только прыжки ($|H \setminus B|$), и сдавших оба норматива ($|B \cap H|$).
$|B \cup H| = |B \setminus H| + |H \setminus B| + |B \cap H|$
Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти $|H \setminus B|$:
$25 = 11 + |H \setminus B| + 7$
$25 = 18 + |H \setminus B|$
$|H \setminus B| = 25 - 18 = 7$
Ответ: 7 учеников.

3.23 По плану застройки участок площадью $1500\,м^2$ состоит из двух пересекающихся прямоугольников, их пересечение отведено под гараж. Площадь первого прямоугольника равна $900\,м^2$, площадь второго — $700\,м^2$. Найдите площадь:

а) участка, отведённого под гараж;

б) части первого прямоугольника, не отведённого под гараж;

в) части второго прямоугольника, не отведённого под гараж;

г) части застройки без учёта гаража.

Для решения этой задачи используется формула площади объединения двух множеств (в данном случае — двух прямоугольных участков). Общая площадь застройки, являющаяся объединением двух прямоугольников, равна сумме их площадей за вычетом площади их пересечения (гаража).

Обозначим:

• $S_{общ}$ — общая площадь участка, $1500 \text{ м}^2$.
• $S_1$ — площадь первого прямоугольника, $900 \text{ м}^2$.
• $S_2$ — площадь второго прямоугольника, $700 \text{ м}^2$.
• $S_{гараж}$ — площадь их пересечения, то есть площадь гаража.

Формула выглядит так: $S_{общ} = S_1 + S_2 - S_{гараж}$.

а) участка, отведённого под гараж

Чтобы найти площадь участка, отведённого под гараж ($S_{гараж}$), выразим её из основной формулы:
$S_{гараж} = S_1 + S_2 - S_{общ}$.
Теперь подставим известные значения:
$S_{гараж} = 900 \text{ м}^2 + 700 \text{ м}^2 - 1500 \text{ м}^2 = 1600 \text{ м}^2 - 1500 \text{ м}^2 = 100 \text{ м}^2$.
Ответ: $100 \text{ м}^2$.

б) части первого прямоугольника, не отведённого под гараж

Эта площадь представляет собой площадь первого прямоугольника за вычетом площади гаража:
$900 \text{ м}^2 - S_{гараж} = 900 \text{ м}^2 - 100 \text{ м}^2 = 800 \text{ м}^2$.
Ответ: $800 \text{ м}^2$.

в) части второго прямоугольника, не отведённого под гараж

Эта площадь вычисляется как площадь второго прямоугольника минус площадь гаража:
$700 \text{ м}^2 - S_{гараж} = 700 \text{ м}^2 - 100 \text{ м}^2 = 600 \text{ м}^2$.
Ответ: $600 \text{ м}^2$.

г) части застройки без учёта гаража

Это общая площадь застройки за вычетом площади гаража.
$S_{общ} - S_{гараж} = 1500 \text{ м}^2 - 100 \text{ м}^2 = 1400 \text{ м}^2$.
Также эту площадь можно найти, сложив площади частей прямоугольников, не занятых гаражом (результаты из пунктов б и в): $800 \text{ м}^2 + 600 \text{ м}^2 = 1400 \text{ м}^2$.
Ответ: $1400 \text{ м}^2$.

3.24 На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9-го класса читал книги $A$, $B$, $C$. Результаты опроса выглядят так: книгу $A$ прочитали 25 учеников, книгу $B$ — 22 ученика, книгу $C$ — 22 ученика; одну из книг ($A$ или $B$) прочитали 33 ученика, одну из книг ($A$ или $C$) прочитали 32 ученика, одну из книг ($B$ или $C$) — 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников:

a) прочитали только по одной книге;

б) прочитали ровно две книги;

в) не читали ни одной из указанных книг?

Для решения задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $A$, $B$ и $C$ — это множества учеников, прочитавших книги А, B и C соответственно. Общее число учеников в классе — это размер универсального множества $U$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Общее число учеников: $|U| = 40$
• Прочитали книгу А: $|A| = 25$
• Прочитали книгу B: $|B| = 22$
• Прочитали книгу C: $|C| = 22$
• Прочитали хотя бы одну из книг А или В (объединение множеств): $|A \cup B| = 33$
• Прочитали хотя бы одну из книг А или C: $|A \cup C| = 32$
• Прочитали хотя бы одну из книг B или C: $|B \cup C| = 31$
• Прочитали все три книги (пересечение трех множеств): $|A \cap B \cap C| = 10$

Для дальнейших расчетов нам понадобится количество учеников, прочитавших каждую возможную пару книг (пересечения множеств). Найдем их, используя формулу $|X \cap Y| = |X| + |Y| - |X \cup Y|$.

• Количество учеников, прочитавших книги А и В: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 25 + 22 - 33 = 14$.
• Количество учеников, прочитавших книги А и C: $|A \cap C| = |A| + |C| - |A \cup C| = 25 + 22 - 32 = 15$.
• Количество учеников, прочитавших книги B и C: $|B \cap C| = |B| + |C| - |B \cup C| = 22 + 22 - 31 = 13$.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а) прочитали только по одной книге

Чтобы найти количество учеников, прочитавших только одну книгу, необходимо из общего числа читателей каждой книги вычесть тех, кто читал эту книгу вместе с другими. Для этого сначала определим, сколько учеников прочитали ровно две книги.

Количество учеников, прочитавших только книги А и В (но не С), равно разности между всеми, кто читал А и В, и теми, кто читал все три:

$|(A \cap B) \setminus C| = |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 14 - 10 = 4$ ученика.

Аналогично для других пар:

$|(A \cap C) \setminus B| = |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 15 - 10 = 5$ учеников.

$|(B \cap C) \setminus A| = |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 13 - 10 = 3$ ученика.

Теперь можем вычислить количество учеников, прочитавших только одну книгу:

• Только книгу А: $|A| - (|(A \cap B) \setminus C| + |(A \cap C) \setminus B| + |A \cap B \cap C|) = 25 - (4 + 5 + 10) = 25 - 19 = 6$ учеников.
• Только книгу B: $|B| - (|(A \cap B) \setminus C| + |(B \cap C) \setminus A| + |A \cap B \cap C|) = 22 - (4 + 3 + 10) = 22 - 17 = 5$ учеников.
• Только книгу C: $|C| - (|(A \cap C) \setminus B| + |(B \cap C) \setminus A| + |A \cap B \cap C|) = 22 - (5 + 3 + 10) = 22 - 18 = 4$ ученика.

Суммарное количество учеников, прочитавших только по одной книге:

$6 + 5 + 4 = 15$ учеников.

Ответ: 15 учеников.

б) прочитали ровно две книги

Количество учеников, прочитавших ровно две книги, было вычислено как промежуточный шаг при решении пункта а). Это сумма учеников, прочитавших только книги А и В, только А и С, и только В и С.

• Прочитали только А и В: 4 ученика.
• Прочитали только А и С: 5 учеников.
• Прочитали только В и С: 3 ученика.

Общее количество учеников, прочитавших ровно две книги:

$4 + 5 + 3 = 12$ учеников.

Ответ: 12 учеников.

в) не читали ни одной из указанных книг?

Чтобы найти количество учеников, не прочитавших ни одной книги, нужно сначала найти общее число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу ($|A \cup B \cup C|$). Это число равно сумме учеников, прочитавших ровно одну, ровно две и все три книги.

• Прочитали только одну книгу (из пункта а): 15 учеников.
• Прочитали ровно две книги (из пункта б): 12 учеников.
• Прочитали все три книги (дано в условии): 10 учеников.

Общее число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу:

$|A \cup B \cup C| = 15 + 12 + 10 = 37$ учеников.

Количество учеников, не прочитавших ни одной книги, равно разности между общим числом учеников в классе и числом прочитавших хотя бы одну книгу:

$|U| - |A \cup B \cup C| = 40 - 37 = 3$ ученика.

Ответ: 3 ученика.

3.25 Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли $A$, $B$ или $C$. При этом спектакли $A$, $B$, $C$ видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

Пусть $N$ — искомое количество учеников в классе.

Согласно условию задачи, каждый ученик был в театре ровно два раза. Это означает, что общее количество посещений театра всеми учениками класса равно произведению числа учеников на два, то есть $2 \times N$.

С другой стороны, общее количество посещений можно вычислить, сложив число зрителей каждого из трех спектаклей. Это справедливо, потому что каждый ученик, посмотревший два спектакля (например, А и В), будет учтен один раз в числе зрителей спектакля А и один раз в числе зрителей спектакля В. Таким образом, в общей сумме зрителей каждый ученик будет учтен ровно дважды, что в точности соответствует двум его походам в театр. Это рассуждение верно для любой комбинации двух спектаклей.

Найдем суммарное число посещений, сложив количество учеников, которые видели каждый из спектаклей:

Число зрителей спектакля А: $n_A = 25$

Число зрителей спектакля В: $n_B = 12$

Число зрителей спектакля С: $n_C = 23$

Суммарное количество посещений равно: $25 + 12 + 23 = 60$.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для общего числа посещений, чтобы составить уравнение:

$2N = 60$

Решив это уравнение относительно $N$, мы найдем количество учеников в классе:

$N = \frac{60}{2}$

$N = 30$

Ответ: 30 учеников.