Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.30 a) $\sqrt{(2x - 5)(x + 4)};$

б) $\sqrt{2x - 5} \cdot \sqrt{x + 4};$

В) $\sqrt{\frac{3x + 2}{x - 5}};$

Г) $\frac{\sqrt{3x + 2}}{\sqrt{x - 5}}.$

а) Найдем область определения выражения $\sqrt{(2x-5)(x+4)}$. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(2x-5)(x+4) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x-5)(x+4) = 0$.

Корни находятся из условий $2x - 5 = 0$ и $x + 4 = 0$, откуда $x_1 = 2.5$ и $x_2 = -4$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4]$, $[-4, 2.5]$ и $[2.5, +\infty)$. График функции $y = (2x-5)(x+4)$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение неотрицательно на крайних интервалах, то есть при $x \le -4$ и при $x \ge 2.5$.

Таким образом, область определения выражения — это объединение этих промежутков.

Ответ: $(-\infty, -4] \cup [2.5, +\infty)$.

б) Найдем область определения выражения $\sqrt{2x-5} \cdot \sqrt{x+4}$. Выражение является произведением двух квадратных корней. Для того чтобы оно имело смысл, должны быть определены оба множителя. Это означает, что подкоренные выражения каждого из корней должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

$2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$

$x \ge -4$

Областью определения является пересечение решений этих неравенств. Необходимо, чтобы $x$ был одновременно больше или равен $2.5$ и больше или равен $-4$. Наиболее строгим из этих условий является $x \ge 2.5$.

Ответ: $[2.5, +\infty)$.

в) Найдем область определения выражения $\sqrt{\frac{3x+2}{x-5}}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{3x+2}{x-5} \ge 0$

Решим данное дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3x + 2 = 0 \implies x = -2/3$. Эта точка входит в решение, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Нанесем точки $-2/3$ и $5$ на числовую ось и определим знаки дроби на полученных интервалах. На интервале $(5, +\infty)$ (например, при $x=6$) дробь $\frac{+}{+}$ положительна. На интервале $(-2/3, 5)$ (например, при $x=0$) дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна. На интервале $(-\infty, -2/3]$ (например, при $x=-1$) дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно.

Ответ: $(-\infty, -2/3] \cup (5, +\infty)$.

г) Найдем область определения выражения $\frac{\sqrt{3x+2}}{\sqrt{x-5}}$. Выражение представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят квадратные корни. Для определения выражения должны выполняться следующие условия: подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в знаменателе — строго положительным (поскольку корень находится в знаменателе и деление на ноль недопустимо).

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 2 \ge 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

$3x \ge -2 \implies x \ge -2/3$

$x > 5$

Областью определения является пересечение решений этих неравенств. Необходимо, чтобы $x$ был одновременно больше или равен $-2/3$ и строго больше $5$. Совместным решением является $x > 5$.

Ответ: $(5, +\infty)$.

4.31 Найдите середину промежутка, служащего решением системы неравенств:

а) $\begin{cases} \frac{3x - 13}{4} \le \frac{x - 1}{4} - \frac{7}{8} \\ 2 \ge \frac{x}{4} + \frac{3 - 2x}{3} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{3}{5} + \frac{3x - 1}{10} \ge \frac{2 - x}{5} - 0,3 \\ 1 \ge \frac{x - 1}{3} + 0,5(x + 3) \end{cases}$

a)

Для нахождения решения системы неравенств, решим каждое неравенство по отдельности.

$ \begin{cases} \frac{3x - 13}{4} \le \frac{x - 1}{4} - \frac{7}{8} \\ 2 \ge \frac{x}{4} + \frac{3 - 2x}{3} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство. Умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \frac{3x - 13}{4} \le 8 \cdot \frac{x - 1}{4} - 8 \cdot \frac{7}{8}$

$2(3x - 13) \le 2(x - 1) - 7$

Раскроем скобки:

$6x - 26 \le 2x - 2 - 7$

$6x - 26 \le 2x - 9$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$6x - 2x \le -9 + 26$

$4x \le 17$

$x \le \frac{17}{4}$

$x \le 4,25$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 12:

$12 \cdot 2 \ge 12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot \frac{3 - 2x}{3}$

$24 \ge 3x + 4(3 - 2x)$

Раскроем скобки:

$24 \ge 3x + 12 - 8x$

$24 \ge 12 - 5x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$5x \ge 12 - 24$

$5x \ge -12$

$x \ge -\frac{12}{5}$

$x \ge -2,4$

3. Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x \le 4,25$ и $x \ge -2,4$. Таким образом, решение системы — это промежуток $[-2,4; 4,25]$.

4. Найдем середину этого промежутка. Середина отрезка $[a; b]$ находится по формуле $\frac{a+b}{2}$.

Середина = $\frac{-2,4 + 4,25}{2} = \frac{1,85}{2} = 0,925$.

Ответ: $0,925$

б)

Для нахождения решения системы неравенств, решим каждое неравенство по отдельности.

$ \begin{cases} \frac{3}{5} + \frac{3x - 1}{10} \ge \frac{2 - x}{5} - 0,3 \\ 1 \ge \frac{x - 1}{3} + 0,5(x + 3) \end{cases} $

1. Решим первое неравенство. Представим $0,3$ в виде дроби $\frac{3}{10}$ и умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 10:

$\frac{3}{5} + \frac{3x - 1}{10} \ge \frac{2 - x}{5} - \frac{3}{10}$

$10 \cdot \frac{3}{5} + 10 \cdot \frac{3x - 1}{10} \ge 10 \cdot \frac{2 - x}{5} - 10 \cdot \frac{3}{10}$

$2 \cdot 3 + (3x - 1) \ge 2(2 - x) - 3$

Раскроем скобки:

$6 + 3x - 1 \ge 4 - 2x - 3$

$3x + 5 \ge 1 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x + 2x \ge 1 - 5$

$5x \ge -4$

$x \ge -\frac{4}{5}$

$x \ge -0,8$

2. Решим второе неравенство. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$ и умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$1 \ge \frac{x - 1}{3} + \frac{1}{2}(x + 3)$

$1 \ge \frac{x-1}{3} + \frac{x+3}{2}$

$6 \cdot 1 \ge 6 \cdot \frac{x - 1}{3} + 6 \cdot \frac{x + 3}{2}$

$6 \ge 2(x - 1) + 3(x + 3)$

Раскроем скобки:

$6 \ge 2x - 2 + 3x + 9$

$6 \ge 5x + 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$6 - 7 \ge 5x$

$-1 \ge 5x$

$-\frac{1}{5} \ge x$ или $x \le -0,2$

3. Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x \ge -0,8$ и $x \le -0,2$. Таким образом, решение системы — это промежуток $[-0,8; -0,2]$.

4. Найдем середину этого промежутка.

Середина = $\frac{-0,8 + (-0,2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$.

Ответ: $-0,5$

4.32 a) Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

$\begin{cases}3 - \frac{3 - 7x}{10} + \frac{x + 1}{2} < \frac{7 + 8x}{2} \\7(3x - 5) + 4(17 - x) > 18 - \frac{5(2x - 6)}{2}\end{cases}$

б) Найдите наименьшее и наибольшее целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

$\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{3x - 1}{6} \leq \frac{2 - x}{12} - \frac{x + 1}{2} + 3 \\x > \frac{5x - 4}{10} - \frac{3x - 1}{5} - 2.5\end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 - \frac{3 - 7x}{10} + \frac{x + 1}{2} < \frac{7 + 8x}{2} \\ 7(3x - 5) + 4(17 - x) > 18 - \frac{5(2x - 6)}{2} \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3 - \frac{3 - 7x}{10} + \frac{x + 1}{2} < \frac{7 + 8x}{2}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot 3 - 10 \cdot \frac{3 - 7x}{10} + 10 \cdot \frac{x + 1}{2} < 10 \cdot \frac{7 + 8x}{2}$

$30 - (3 - 7x) + 5(x + 1) < 5(7 + 8x)$

Раскроем скобки:

$30 - 3 + 7x + 5x + 5 < 35 + 40x$

Приведем подобные слагаемые:

$32 + 12x < 35 + 40x$

$12x - 40x < 35 - 32$

$-28x < 3$

Разделим обе части на -28 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > -\frac{3}{28}$

2. Решим второе неравенство:

$7(3x - 5) + 4(17 - x) > 18 - \frac{5(2x - 6)}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$21x - 35 + 68 - 4x > 18 - \frac{10x - 30}{2}$

$17x + 33 > 18 - (5x - 15)$

$17x + 33 > 18 - 5x + 15$

$17x + 33 > 33 - 5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$17x + 5x > 33 - 33$

$22x > 0$

$x > 0$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили систему: $\begin{cases} x > -\frac{3}{28} \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является промежуток $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это 1.

Ответ: 1

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{3x - 1}{6} \le \frac{2 - x}{12} - \frac{x + 1}{2} + 3 \\ x > \frac{5x - 4}{10} - \frac{3x - 1}{5} - 2,5 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x}{3} - \frac{3x - 1}{6} \le \frac{2 - x}{12} - \frac{x + 1}{2} + 3$

Умножим обе части неравенства на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 6, 12, 2):

$12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{3x - 1}{6} \le 12 \cdot \frac{2 - x}{12} - 12 \cdot \frac{x + 1}{2} + 12 \cdot 3$

$4x - 2(3x - 1) \le (2 - x) - 6(x + 1) + 36$

Раскроем скобки:

$4x - 6x + 2 \le 2 - x - 6x - 6 + 36$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x + 2 \le -7x + 32$

$-2x + 7x \le 32 - 2$

$5x \le 30$

$x \le 6$

2. Решим второе неравенство:

$x > \frac{5x - 4}{10} - \frac{3x - 1}{5} - 2,5$

Представим 2,5 в виде дроби $\frac{5}{2}$ и умножим обе части на 10:

$10x > 10 \cdot \frac{5x - 4}{10} - 10 \cdot \frac{3x - 1}{5} - 10 \cdot \frac{5}{2}$

$10x > (5x - 4) - 2(3x - 1) - 25$

Раскроем скобки:

$10x > 5x - 4 - 6x + 2 - 25$

Приведем подобные слагаемые:

$10x > -x - 27$

$10x + x > -27$

$11x > -27$

$x > -\frac{27}{11}$

Так как $-\frac{27}{11} = -2\frac{5}{11}$, то $x > -2\frac{5}{11}$.

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили систему: $\begin{cases} x \le 6 \\ x > -2\frac{5}{11} \end{cases}$

Решением системы является промежуток $-2\frac{5}{11} < x \le 6$, то есть $x \in (-2\frac{5}{11}; 6]$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Наименьшее целое число из этого множества — -2, а наибольшее — 6.

Ответ: наименьшее целое число -2, наибольшее целое число 6

4.33 Найдите все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

а) $\begin{cases} 0,2x > -1 \\ \frac{x}{3} \ge 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x-1}{2} < \frac{x}{3} \\ \frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5} \end{cases}$

в) $\begin{cases} 1 - 0,5x \ge 0 \\ -\frac{x+5}{5} < -1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5} \\ \frac{x}{3} > \frac{x+4}{7} \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 0,2x > -1, \\ -\frac{x}{3} \ge 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$0,2x > -1$
Разделим обе части на 0,2:
$x > \frac{-1}{0,2}$
$x > -5$

2. Решим второе неравенство:
$-\frac{x}{3} \ge 1$
Умножим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le 1 \cdot (-3)$
$x \le -3$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x > -5$ и $x \le -3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-5 < x \le -3$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -4, -3.

Ответ: -4, -3.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{2} < \frac{x}{3}, \\ \frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$\frac{x-1}{2} < \frac{x}{3}$
Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$3(x-1) < 2x$
$3x - 3 < 2x$
$3x - 2x < 3$
$x < 3$

2. Решим второе неравенство:
$\frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5}$
Умножим обе части на 10 (наименьшее общее кратное для 2 и 5):
$5(x+1) \ge 2x$
$5x + 5 \ge 2x$
$5x - 2x \ge -5$
$3x \ge -5$
$x \ge -\frac{5}{3}$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x \ge -\frac{5}{3}$ и $x < 3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{5}{3} \le x < 3$.
Так как $-\frac{5}{3} \approx -1,67$, то целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -1, 0, 1, 2.

Ответ: -1, 0, 1, 2.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - 0,5x \ge 0, \\ -\frac{x+5}{5} < -1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$1 - 0,5x \ge 0$
$-0,5x \ge -1$
Умножим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le 2$

2. Решим второе неравенство:
$-\frac{x+5}{5} < -1$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x+5}{5} > 1$
Умножим обе части на 5:
$x+5 > 5$
$x > 0$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x > 0$ и $x \le 2$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x \le 2$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: 1, 2.

Ответ: 1, 2.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5}, \\ \frac{x}{3} > \frac{x+4}{7}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$\frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5}$
Умножим обе части на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5):
$5(x-1) \le 4x$
$5x - 5 \le 4x$
$5x - 4x \le 5$
$x \le 5$

2. Решим второе неравенство:
$\frac{x}{3} > \frac{x+4}{7}$
Умножим обе части на 21 (наименьшее общее кратное для 3 и 7):
$7x > 3(x+4)$
$7x > 3x + 12$
$7x - 3x > 12$
$4x > 12$
$x > 3$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x > 3$ и $x \le 5$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 < x \le 5$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: 4, 5.

Ответ: 4, 5.