Номер 4.32, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.32 a) Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

$\begin{cases}3 - \frac{3 - 7x}{10} + \frac{x + 1}{2} < \frac{7 + 8x}{2} \\7(3x - 5) + 4(17 - x) > 18 - \frac{5(2x - 6)}{2}\end{cases}$

б) Найдите наименьшее и наибольшее целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

$\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{3x - 1}{6} \leq \frac{2 - x}{12} - \frac{x + 1}{2} + 3 \\x > \frac{5x - 4}{10} - \frac{3x - 1}{5} - 2.5\end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 - \frac{3 - 7x}{10} + \frac{x + 1}{2} < \frac{7 + 8x}{2} \\ 7(3x - 5) + 4(17 - x) > 18 - \frac{5(2x - 6)}{2} \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3 - \frac{3 - 7x}{10} + \frac{x + 1}{2} < \frac{7 + 8x}{2}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot 3 - 10 \cdot \frac{3 - 7x}{10} + 10 \cdot \frac{x + 1}{2} < 10 \cdot \frac{7 + 8x}{2}$

$30 - (3 - 7x) + 5(x + 1) < 5(7 + 8x)$

Раскроем скобки:

$30 - 3 + 7x + 5x + 5 < 35 + 40x$

Приведем подобные слагаемые:

$32 + 12x < 35 + 40x$

$12x - 40x < 35 - 32$

$-28x < 3$

Разделим обе части на -28 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > -\frac{3}{28}$

2. Решим второе неравенство:

$7(3x - 5) + 4(17 - x) > 18 - \frac{5(2x - 6)}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$21x - 35 + 68 - 4x > 18 - \frac{10x - 30}{2}$

$17x + 33 > 18 - (5x - 15)$

$17x + 33 > 18 - 5x + 15$

$17x + 33 > 33 - 5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$17x + 5x > 33 - 33$

$22x > 0$

$x > 0$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили систему: $\begin{cases} x > -\frac{3}{28} \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является промежуток $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это 1.

Ответ: 1

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{3x - 1}{6} \le \frac{2 - x}{12} - \frac{x + 1}{2} + 3 \\ x > \frac{5x - 4}{10} - \frac{3x - 1}{5} - 2,5 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x}{3} - \frac{3x - 1}{6} \le \frac{2 - x}{12} - \frac{x + 1}{2} + 3$

Умножим обе части неравенства на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 6, 12, 2):

$12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{3x - 1}{6} \le 12 \cdot \frac{2 - x}{12} - 12 \cdot \frac{x + 1}{2} + 12 \cdot 3$

$4x - 2(3x - 1) \le (2 - x) - 6(x + 1) + 36$

Раскроем скобки:

$4x - 6x + 2 \le 2 - x - 6x - 6 + 36$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x + 2 \le -7x + 32$

$-2x + 7x \le 32 - 2$

$5x \le 30$

$x \le 6$

2. Решим второе неравенство:

$x > \frac{5x - 4}{10} - \frac{3x - 1}{5} - 2,5$

Представим 2,5 в виде дроби $\frac{5}{2}$ и умножим обе части на 10:

$10x > 10 \cdot \frac{5x - 4}{10} - 10 \cdot \frac{3x - 1}{5} - 10 \cdot \frac{5}{2}$

$10x > (5x - 4) - 2(3x - 1) - 25$

Раскроем скобки:

$10x > 5x - 4 - 6x + 2 - 25$

Приведем подобные слагаемые:

$10x > -x - 27$

$10x + x > -27$

$11x > -27$

$x > -\frac{27}{11}$

Так как $-\frac{27}{11} = -2\frac{5}{11}$, то $x > -2\frac{5}{11}$.

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили систему: $\begin{cases} x \le 6 \\ x > -2\frac{5}{11} \end{cases}$

Решением системы является промежуток $-2\frac{5}{11} < x \le 6$, то есть $x \in (-2\frac{5}{11}; 6]$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Наименьшее целое число из этого множества — -2, а наибольшее — 6.

Ответ: наименьшее целое число -2, наибольшее целое число 6