Номер 4.37, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.37 a) $ \frac{2x + 10}{\sqrt{x^2 - 16}} \ge 0; $

Б) $ \frac{\sqrt{-x^2 + 4x}}{2x - 2} < 0; $

В) $ \frac{\sqrt{x^2 - 6x}}{4x - 28} \le 0; $

Г) $ \frac{5x + 10}{\sqrt{9 - x^2}} > 0. $

a) Решим неравенство $\frac{2x + 10}{\sqrt{x^2 - 16}} \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, должно быть строго положительным (поскольку на ноль делить нельзя, и корень из отрицательного числа не извлекается в действительных числах).
$x^2 - 16 > 0$
$(x - 4)(x + 4) > 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

2. В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x^2 - 16}$ всегда положителен. Следовательно, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство сводится к следующему:
$2x + 10 \ge 0$
$2x \ge -10$
$x \ge -5$.

3. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с областью допустимых значений:
$\begin{cases} x \ge -5 \\ x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty) \end{cases}$
Совмещая эти условия на числовой прямой, получаем итоговое решение: $x \in [-5, -4) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in [-5, -4) \cup (4, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{\sqrt{-x^2 + 4x}}{2x - 2} < 0$.

1. Найдем ОДЗ.
Во-первых, подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным:
$-x^2 + 4x \ge 0$
$x(4 - x) \ge 0$, или $x(x - 4) \le 0$.
Решением этого квадратного неравенства является отрезок $x \in [0, 4]$.
Во-вторых, знаменатель не должен обращаться в нуль:
$2x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Объединив эти два условия, получим ОДЗ: $x \in [0, 1) \cup (1, 4]$.

2. Решим само неравенство. Дробь будет отрицательной, если числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Числитель $\sqrt{-x^2 + 4x}$ по определению арифметического корня всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Для выполнения строгого неравенства ($< 0$) числитель должен быть строго положителен, а знаменатель — строго отрицателен.
$\sqrt{-x^2 + 4x} > 0 \Rightarrow -x^2 + 4x > 0 \Rightarrow x \in (0, 4)$.
$2x - 2 < 0 \Rightarrow 2x < 2 \Rightarrow x < 1$.

3. Найдем пересечение полученных условий:
$\begin{cases} x \in (0, 4) \\ x < 1 \end{cases}$
Пересечением является интервал $x \in (0, 1)$. Данный интервал полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2 - 6x}}{4x - 28} \le 0$.

1. Найдем ОДЗ.
Подкоренное выражение: $x^2 - 6x \ge 0 \Rightarrow x(x - 6) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty)$.
Знаменатель: $4x - 28 \neq 0 \Rightarrow 4x \neq 28 \Rightarrow x \neq 7$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0] \cup [6, 7) \cup (7, \infty)$.

2. Данное неравенство является нестрогим, поэтому оно выполняется в двух случаях: когда дробь равна нулю или когда она меньше нуля.
Случай 1: Дробь равна нулю.
Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$\sqrt{x^2 - 6x} = 0 \Rightarrow x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x - 6) = 0$.
Отсюда получаем $x = 0$ и $x = 6$. Оба этих значения входят в ОДЗ, поэтому являются решениями.

Случай 2: Дробь строго отрицательна.
Числитель $\sqrt{x^2 - 6x}$, если он не равен нулю, всегда положителен. Значит, для отрицательности дроби знаменатель должен быть отрицательным:
$4x - 28 < 0 \Rightarrow 4x < 28 \Rightarrow x < 7$.
При этом числитель должен быть строго положителен: $x^2 - 6x > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.
Пересечение этих двух условий дает: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, 7)$.

3. Объединим решения из обоих случаев.
Из первого случая получили точки $x=0, x=6$.
Из второго случая получили интервалы $(-\infty, 0) \cup (6, 7)$.
Объединяя все вместе, получаем: $(-\infty, 0) \cup \{0\} \cup (6, 7) \cup \{6\} = (-\infty, 0] \cup [6, 7)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [6, 7)$.

г) Решим неравенство $\frac{5x + 10}{\sqrt{9 - x^2}} > 0$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным.
$9 - x^2 > 0$
$x^2 < 9$
$-3 < x < 3$, то есть $x \in (-3, 3)$.

2. В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{9 - x^2}$ всегда положителен. Поэтому знак дроби определяется знаком числителя.
$5x + 10 > 0$
$5x > -10$
$x > -2$.

3. Найдем пересечение решения $x > -2$ с ОДЗ $x \in (-3, 3)$.
$\begin{cases} x > -2 \\ -3 < x < 3 \end{cases}$
Пересечением этих интервалов является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.