Номер 4.34, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему неравенств:

4.34 а) $ \begin{cases} |x - 1| \le 2, \\ |x - 4| \ge 5; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} |x - 5| \le 3, \\ |x - 4| \ge 2; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} |x + 5| < 3, \\ |x - 1| \ge 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} |x - 3| < 5, \\ |x + 2| \ge 1. \end{cases} $

а) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x - 1| \le 2 \\ |x - 4| \ge 5 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы отдельно.

1. Решим первое неравенство: $|x - 1| \le 2$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству: $$ -2 \le x - 1 \le 2 $$ Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $$ -2 + 1 \le x \le 2 + 1 $$ $$ -1 \le x \le 3 $$ Решением первого неравенства является промежуток $x \in [-1, 3]$.

2. Решим второе неравенство: $|x - 4| \ge 5$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $$ x - 4 \ge 5 \quad \text{или} \quad x - 4 \le -5 $$ Решим каждое из них: $$ x \ge 5 + 4 \implies x \ge 9 $$ $$ x \le -5 + 4 \implies x \le -1 $$ Решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1] \cup [9, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение системы — это пересечение множеств $[-1, 3]$ и $(-\infty, -1] \cup [9, \infty)$. Пересечением является единственное число $x = -1$.
Ответ: $\{-1\}$

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x - 5| \le 3 \\ |x - 4| \ge 2 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы отдельно.

1. Решим первое неравенство: $|x - 5| \le 3$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству: $$ -3 \le x - 5 \le 3 $$ Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $$ -3 + 5 \le x \le 3 + 5 $$ $$ 2 \le x \le 8 $$ Решением первого неравенства является промежуток $x \in [2, 8]$.

2. Решим второе неравенство: $|x - 4| \ge 2$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $$ x - 4 \ge 2 \quad \text{или} \quad x - 4 \le -2 $$ Решим каждое из них: $$ x \ge 2 + 4 \implies x \ge 6 $$ $$ x \le -2 + 4 \implies x \le 2 $$ Решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение системы — это пересечение множеств $[2, 8]$ и $(-\infty, 2] \cup [6, \infty)$. Пересечение $[2, 8]$ с $(-\infty, 2]$ дает точку $x=2$. Пересечение $[2, 8]$ с $[6, \infty)$ дает промежуток $[6, 8]$. Объединив эти результаты, получаем решение системы.
Ответ: $\{2\} \cup [6, 8]$

в) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x + 5| < 3 \\ |x - 1| \ge 4 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы отдельно.

1. Решим первое неравенство: $|x + 5| < 3$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству: $$ -3 < x + 5 < 3 $$ Вычтем 5 из всех частей неравенства: $$ -3 - 5 < x < 3 - 5 $$ $$ -8 < x < -2 $$ Решением первого неравенства является промежуток $x \in (-8, -2)$.

2. Решим второе неравенство: $|x - 1| \ge 4$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $$ x - 1 \ge 4 \quad \text{или} \quad x - 1 \le -4 $$ Решим каждое из них: $$ x \ge 4 + 1 \implies x \ge 5 $$ $$ x \le -4 + 1 \implies x \le -3 $$ Решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение системы — это пересечение множеств $(-8, -2)$ и $(-\infty, -3] \cup [5, \infty)$. Пересечением является промежуток $(-8, -3]$.
Ответ: $(-8, -3]$

г) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x - 3| < 5 \\ |x + 2| \ge 1 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы отдельно.

1. Решим первое неравенство: $|x - 3| < 5$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству: $$ -5 < x - 3 < 5 $$ Прибавим 3 ко всем частям неравенства: $$ -5 + 3 < x < 5 + 3 $$ $$ -2 < x < 8 $$ Решением первого неравенства является промежуток $x \in (-2, 8)$.

2. Решим второе неравенство: $|x + 2| \ge 1$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $$ x + 2 \ge 1 \quad \text{или} \quad x + 2 \le -1 $$ Решим каждое из них: $$ x \ge 1 - 2 \implies x \ge -1 $$ $$ x \le -1 - 2 \implies x \le -3 $$ Решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение системы — это пересечение множеств $(-2, 8)$ и $(-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$. Пересечение $(-2, 8)$ с $(-\infty, -3]$ пусто. Пересечение $(-2, 8)$ с $[-1, \infty)$ дает промежуток $[-1, 8)$.
Ответ: $[-1, 8)$