Номер 4.29, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.29 а) $\sqrt{x^2 - 16} + \sqrt{7x - x^2}$;

б) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{9 - x^2}$;

в) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} + \sqrt{x^2 - 1}$;

г) $\sqrt{x^2 + 8x + 7} + \sqrt{25 - x^2}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 16} + \sqrt{7x - x^2}$ задается системой неравенств, так как выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$$ \begin{cases} x^2 - 16 \ge 0 \\ 7x - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-4)(x+4) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $7x - x^2 \ge 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(7-x) \ge 0$. Корни уравнения $x(7-x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [0, 7]$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$ и $[0, 7]$.

На числовой оси видно, что общим решением является промежуток $[4, 7]$.

Ответ: $x \in [4, 7]$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{9 - x^2}$ задается системой неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Неравенство можно записать в виде $(x-1)(x-2) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 9$, что означает $-3 \le x \le 3$, или $x \in [-3, 3]$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, 1] \cup [2, \infty)) \cap [-3, 3]$.

Пересекая $(-\infty, 1]$ с $[-3, 3]$, получаем $[-3, 1]$.

Пересекая $[2, \infty)$ с $[-3, 3]$, получаем $[2, 3]$.

Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-3, 1] \cup [2, 3]$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x + 6} + \sqrt{x^2 - 1}$ задается системой неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Неравенство можно записать как $(x-2)(x-3) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 1 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \ge 1$, что означает $x \le -1$ или $x \ge 1$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$.

Пересечение $(-\infty, 2]$ с $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ дает $(-\infty, -1] \cup [1, 2]$.

Пересечение $[3, \infty)$ с $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ дает $[3, \infty)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, \infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 8x + 7} + \sqrt{25 - x^2}$ задается системой неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0 \\ 25 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 8x + 7 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Неравенство можно записать как $(x+7)(x+1) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $25 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 25$, что означает $-5 \le x \le 5$, или $x \in [-5, 5]$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, -7] \cup [-1, \infty)) \cap [-5, 5]$.

Пересечение $(-\infty, -7]$ с $[-5, 5]$ является пустым множеством.

Пересечение $[-1, \infty)$ с $[-5, 5]$ дает отрезок $[-1, 5]$.

Таким образом, область определения функции — это полученный отрезок.

Ответ: $x \in [-1, 5]$.