Номер 4.24, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.24 a) $\frac{2x + 1}{x - 2} < 1,$

$\frac{3x + 2}{2x - 3} > 2;$

б) $\frac{7 - 3x}{2 - 5x} \leq 2,$

$\frac{2x + 1}{3x - 3} > 4;$

в) $\frac{3x - 2}{3 - x} < 2,$

$ \frac{5x + 1}{4x - 5} > 3;$

г) $\frac{x + 3}{3x - 1} \leq 1,$

$\frac{2x + 5}{x - 4} \geq 2.$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x + 1}{x - 2} < 1, \\ \frac{3x + 2}{2x - 3} > 2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2x + 1}{x - 2} < 1$

$\frac{2x + 1}{x - 2} - 1 < 0$

$\frac{2x + 1 - (x - 2)}{x - 2} < 0$

$\frac{x + 3}{x - 2} < 0$

Применяя метод интервалов, находим, что нули числителя и знаменателя $x = -3$ и $x = 2$ разбивают числовую прямую на три интервала. Неравенство выполняется на интервале $(-3, 2)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{3x + 2}{2x - 3} > 2$

$\frac{3x + 2}{2x - 3} - 2 > 0$

$\frac{3x + 2 - 2(2x - 3)}{2x - 3} > 0$

$\frac{3x + 2 - 4x + 6}{2x - 3} > 0$

$\frac{-x + 8}{2x - 3} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x - 8}{2x - 3} < 0$

Нули числителя и знаменателя $x = 8$ и $x = \frac{3}{2}$. Неравенство выполняется на интервале $(\frac{3}{2}, 8)$.

3. Найдем пересечение полученных решений:

$(-3, 2) \cap (\frac{3}{2}, 8)$

Пересечением является интервал $(\frac{3}{2}, 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}, 2)$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{7 - 3x}{2 - 5x} \le 2, \\ \frac{2x + 1}{3x - 3} > 4 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{7 - 3x}{2 - 5x} \le 2$

$\frac{7 - 3x}{2 - 5x} - 2 \le 0$

$\frac{7 - 3x - 2(2 - 5x)}{2 - 5x} \le 0$

$\frac{7 - 3x - 4 + 10x}{2 - 5x} \le 0$

$\frac{7x + 3}{2 - 5x} \le 0$

Это неравенство эквивалентно $\frac{7x + 3}{5x - 2} \ge 0$ (при умножении знаменателя на -1 знак неравенства меняется). Нули числителя и знаменателя $x = -\frac{3}{7}$ и $x = \frac{2}{5}$. Решение: $x \in (-\infty, -\frac{3}{7}] \cup (\frac{2}{5}, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{2x + 1}{3x - 3} > 4$

$\frac{2x + 1}{3(x - 1)} - 4 > 0$

$\frac{2x + 1 - 12(x - 1)}{3(x - 1)} > 0$

$\frac{2x + 1 - 12x + 12}{3(x - 1)} > 0$

$\frac{-10x + 13}{3(x - 1)} > 0$

$\frac{10x - 13}{x - 1} < 0$

Нули числителя и знаменателя $x = \frac{13}{10}$ и $x = 1$. Решение: $x \in (1, \frac{13}{10})$.

3. Найдем пересечение решений:

$\left( (-\infty, -\frac{3}{7}] \cup (\frac{2}{5}, +\infty) \right) \cap (1, \frac{13}{10})$

Поскольку $1 > \frac{2}{5}$ и $\frac{13}{10} > \frac{2}{5}$, интервал $(1, \frac{13}{10})$ полностью содержится в $(\frac{2}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, \frac{13}{10})$.

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{3x - 2}{3 - x} < 2, \\ \frac{5x + 1}{4x - 5} > 3 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{3x - 2}{3 - x} < 2$

$\frac{3x - 2 - 2(3 - x)}{3 - x} < 0$

$\frac{3x - 2 - 6 + 2x}{3 - x} < 0$

$\frac{5x - 8}{3 - x} < 0$

$\frac{5x - 8}{x - 3} > 0$

Нули числителя и знаменателя $x = \frac{8}{5}$ и $x = 3$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{8}{5}) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{5x + 1}{4x - 5} > 3$

$\frac{5x + 1 - 3(4x - 5)}{4x - 5} > 0$

$\frac{5x + 1 - 12x + 15}{4x - 5} > 0$

$\frac{-7x + 16}{4x - 5} > 0$

$\frac{7x - 16}{4x - 5} < 0$

Нули числителя и знаменателя $x = \frac{16}{7}$ и $x = \frac{5}{4}$. Решение: $x \in (\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$.

3. Найдем пересечение решений:

$\left( (-\infty, \frac{8}{5}) \cup (3, +\infty) \right) \cap (\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$

Сравним дроби: $\frac{5}{4} = 1.25$, $\frac{8}{5} = 1.6$, $\frac{16}{7} \approx 2.28$.

Интервал $(\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$ не пересекается с $(3, +\infty)$.

Найдем пересечение $(-\infty, \frac{8}{5}) \cap (\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$. Так как $\frac{5}{4} < \frac{8}{5} < \frac{16}{7}$, пересечением будет интервал $(\frac{5}{4}, \frac{8}{5})$.

Ответ: $x \in (\frac{5}{4}, \frac{8}{5})$.

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x + 3}{3x - 1} \le 1, \\ \frac{2x + 5}{x - 4} \ge 2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x + 3}{3x - 1} \le 1$

$\frac{x + 3 - (3x - 1)}{3x - 1} \le 0$

$\frac{-2x + 4}{3x - 1} \le 0$

$\frac{-2(x - 2)}{3x - 1} \le 0$

$\frac{x - 2}{3x - 1} \ge 0$

Нули числителя и знаменателя $x = 2$ и $x = \frac{1}{3}$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup [2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{2x + 5}{x - 4} \ge 2$

$\frac{2x + 5 - 2(x - 4)}{x - 4} \ge 0$

$\frac{2x + 5 - 2x + 8}{x - 4} \ge 0$

$\frac{13}{x - 4} \ge 0$

Поскольку числитель $13 > 0$, неравенство выполняется, когда знаменатель строго больше нуля: $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$. Решение: $x \in (4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений:

$\left( (-\infty, \frac{1}{3}) \cup [2, +\infty) \right) \cap (4, +\infty)$

Интервал $(4, +\infty)$ является подмножеством интервала $[2, +\infty)$.

Следовательно, пересечением является сам интервал $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.