Номер 4.23, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.23 a) $ \begin{cases} \frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - x, \\ 1 - x > 0,5x - 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{2x-1}{6} + \frac{x+2}{3} - \frac{x-8}{2} > x-1, \\ 2 - 2x > 0,5 + 0,5x; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} \frac{5x+7}{6} - \frac{3x}{4} < \frac{11x-7}{12}, \\ \frac{1-3x}{2} - \frac{1-4x}{3} \ge \frac{x}{6} - 1; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} \frac{8x+1}{3} > \frac{4x+9}{2} - \frac{x-1}{3}, \\ \frac{5x-2}{3} < \frac{2x+13}{2} - \frac{x+2}{3}. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \ge \frac{x - 3}{4} - x \\ 1 - x > 0.5x - 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \ge \frac{x - 3}{4} - x $.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 12:
$ 12 \cdot \frac{x - 1}{2} - 12 \cdot \frac{x - 2}{3} \ge 12 \cdot \frac{x - 3}{4} - 12 \cdot x $
$ 6(x - 1) - 4(x - 2) \ge 3(x - 3) - 12x $
Раскроем скобки:
$ 6x - 6 - 4x + 8 \ge 3x - 9 - 12x $
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$ 2x + 2 \ge -9x - 9 $
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$ 2x + 9x \ge -9 - 2 $
$ 11x \ge -11 $
Разделим обе части на 11:
$ x \ge -1 $.

2. Решим второе неравенство: $ 1 - x > 0.5x - 4 $.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$ 1 + 4 > 0.5x + x $
$ 5 > 1.5x $
Разделим обе части на 1.5:
$ x < \frac{5}{1.5} $
$ x < \frac{5}{3/2} $
$ x < \frac{10}{3} $.

3. Найдем пересечение решений.
Решение первого неравенства: $ x \in [-1, +\infty) $.
Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, \frac{10}{3}) $.
Пересечением этих множеств является интервал $ [-1, \frac{10}{3}) $.
Ответ: $ [-1, \frac{10}{3}) $.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} > x - 1 \\ 2 - 2x > 0.5 + 0.5x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} > x - 1 $.
Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$ (2x - 1) + 2(x + 2) - 3(x - 8) > 6(x - 1) $
Раскроем скобки:
$ 2x - 1 + 2x + 4 - 3x + 24 > 6x - 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x + 27 > 6x - 6 $
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$ 27 + 6 > 6x - x $
$ 33 > 5x $
$ x < \frac{33}{5} $.

2. Решим второе неравенство: $ 2 - 2x > 0.5 + 0.5x $.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$ 2 - 0.5 > 0.5x + 2x $
$ 1.5 > 2.5x $
$ x < \frac{1.5}{2.5} $
$ x < \frac{15}{25} $
$ x < \frac{3}{5} $.

3. Найдем пересечение решений.
Мы имеем $ x < \frac{33}{5} $ и $ x < \frac{3}{5} $.
Так как $ \frac{3}{5} < \frac{33}{5} $, то пересечением этих условий является $ x < \frac{3}{5} $.
Ответ: $ (-\infty, \frac{3}{5}) $.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{5x + 7}{6} - \frac{3x}{4} < \frac{11x - 7}{12} \\ \frac{1 - 3x}{2} - \frac{1 - 4x}{3} \ge \frac{x}{6} - 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{5x + 7}{6} - \frac{3x}{4} < \frac{11x - 7}{12} $.
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
$ 2(5x + 7) - 3(3x) < 11x - 7 $
Раскроем скобки:
$ 10x + 14 - 9x < 11x - 7 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x + 14 < 11x - 7 $
$ 14 + 7 < 11x - x $
$ 21 < 10x $
$ x > 2.1 $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{1 - 3x}{2} - \frac{1 - 4x}{3} \ge \frac{x}{6} - 1 $.
Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$ 3(1 - 3x) - 2(1 - 4x) \ge x - 6 $
Раскроем скобки:
$ 3 - 9x - 2 + 8x \ge x - 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 1 - x \ge x - 6 $
$ 1 + 6 \ge x + x $
$ 7 \ge 2x $
$ x \le 3.5 $.

3. Найдем пересечение решений.
Мы получили $ x > 2.1 $ и $ x \le 3.5 $.
Объединяя эти условия, получаем полуинтервал $ (2.1, 3.5] $.
Ответ: $ (2.1, 3.5] $.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{8x + 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} - \frac{x - 1}{3} \\ \frac{5x - 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} - \frac{x + 2}{3} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{8x + 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} - \frac{x - 1}{3} $.
Перенесем слагаемое $ - \frac{x - 1}{3} $ в левую часть:
$ \frac{8x + 1}{3} + \frac{x - 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} $
$ \frac{8x + 1 + x - 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} $
$ \frac{9x}{3} > \frac{4x + 9}{2} $
$ 3x > \frac{4x + 9}{2} $
Умножим обе части на 2:
$ 6x > 4x + 9 $
$ 2x > 9 $
$ x > 4.5 $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{5x - 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} - \frac{x + 2}{3} $.
Перенесем слагаемое $ - \frac{x + 2}{3} $ в левую часть:
$ \frac{5x - 2}{3} + \frac{x + 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} $
$ \frac{5x - 2 + x + 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} $
$ \frac{6x}{3} < \frac{2x + 13}{2} $
$ 2x < \frac{2x + 13}{2} $
Умножим обе части на 2:
$ 4x < 2x + 13 $
$ 2x < 13 $
$ x < 6.5 $.

3. Найдем пересечение решений.
Мы получили $ x > 4.5 $ и $ x < 6.5 $.
Объединяя эти условия, получаем интервал $ (4.5, 6.5) $.
Ответ: $ (4.5, 6.5) $.