Номер 4.22, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Системы рациональных неравенств. Глава 1. Рациональные неравенства и их системы. ч. 2 - номер 4.22, страница 20.

4.22 a) $\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7, \\1 - \frac{x}{6} > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x - \frac{x}{4} \ge 2, \\\frac{x-1}{2} + \frac{x-2}{3} > 1;\end{cases}$

В) $\begin{cases}1 - \frac{x}{4} > x, \\x - \frac{x-4}{5} > 1;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}x - \frac{x-1}{2} > 1, \\\frac{x}{3} < 5.\end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7, \\ 1 - \frac{x}{6} > 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} < 7$
$\frac{7x}{12} < 7$
Умножим обе части на 12:
$7x < 84$
Разделим обе части на 7:
$x < 12$

2. Решим второе неравенство: $1 - \frac{x}{6} > 0$.
Перенесем $\frac{x}{6}$ в правую часть:
$1 > \frac{x}{6}$
Умножим обе части на 6:
$6 > x$, что равносильно $x < 6$.

3. Найдем пересечение решений $x < 12$ и $x < 6$.
На числовой оси отметим оба интервала. Общей частью будет интервал, где выполняются оба условия, то есть $x < 6$.

Ответ: $(-\infty; 6)$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - \frac{x}{4} \geq 2, \\ \frac{x-1}{2} + \frac{x-2}{3} > 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x - \frac{x}{4} \geq 2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{4x - x}{4} \geq 2$
$\frac{3x}{4} \geq 2$
Умножим обе части на 4:
$3x \geq 8$
Разделим обе части на 3:
$x \geq \frac{8}{3}$

2. Решим второе неравенство: $\frac{x-1}{2} + \frac{x-2}{3} > 1$.
Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$3(x-1) + 2(x-2) > 6$
$3x - 3 + 2x - 4 > 6$
$5x - 7 > 6$
$5x > 13$
$x > \frac{13}{5}$

3. Найдем пересечение решений $x \geq \frac{8}{3}$ и $x > \frac{13}{5}$.
Сравним дроби: $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ и $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$.
Поскольку $2\frac{2}{3} \approx 2.67$, то $\frac{8}{3} > \frac{13}{5}$.
Следовательно, пересечением множеств $x \geq \frac{8}{3}$ и $x > \frac{13}{5}$ является $x \geq \frac{8}{3}$.

Ответ: $[\frac{8}{3}; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - \frac{x}{4} > x, \\ x - \frac{x-4}{5} > 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $1 - \frac{x}{4} > x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:
$1 > x + \frac{x}{4}$
$1 > \frac{4x+x}{4}$
$1 > \frac{5x}{4}$
Умножим обе части на 4:
$4 > 5x$
Разделим на 5: $\frac{4}{5} > x$, что равносильно $x < \frac{4}{5}$.

2. Решим второе неравенство: $x - \frac{x-4}{5} > 1$.
Умножим обе части на 5:
$5x - (x-4) > 5$
$5x - x + 4 > 5$
$4x + 4 > 5$
$4x > 1$
$x > \frac{1}{4}$

3. Найдем пересечение решений $x < \frac{4}{5}$ и $x > \frac{1}{4}$.
Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $\frac{1}{4} < x < \frac{4}{5}$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{4}{5})$.

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - \frac{x-1}{2} > 1, \\ \frac{x}{3} < 5. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x - \frac{x-1}{2} > 1$.
Умножим обе части на 2:
$2x - (x-1) > 2$
$2x - x + 1 > 2$
$x + 1 > 2$
$x > 1$

2. Решим второе неравенство: $\frac{x}{3} < 5$.
Умножим обе части на 3:
$x < 15$

3. Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x < 15$.
Решением системы является интервал, где выполняются оба неравенства, то есть $1 < x < 15$.

Ответ: $(1; 15)$.