Номер 4.27, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.27 a) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2, \\ x + \frac{8}{x} \le 6; \end{array} \right.$

Б) $\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{3}{x} \le -4, \\ \frac{x - 4}{x - 3} > \frac{x - 3}{x - 4}; \end{array} \right.$

В) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{2x + 3} \le 0, \\ \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3} > \frac{3}{x + 2}; \end{array} \right.$

Г) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \ge 0, \\ \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} \le \frac{1 - 2x}{x^2 - 1}. \end{array} \right.$

a)

Решим систему из двух неравенств:

1) $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2$

2) $x + \frac{8}{x} \le 6$

Решим первое неравенство:

$\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} - 2 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2(x^2 + 9x + 8)}{x^2 + 9x + 8} > 0$

$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2x^2 - 18x - 16}{x^2 + 9x + 8} > 0$

$\frac{-20}{x^2 + 9x + 8} > 0$

Так как числитель -20 отрицательный, для выполнения неравенства знаменатель должен быть также отрицательным:

$x^2 + 9x + 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 + 9x + 8$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-8, -1)$.

Решим второе неравенство:

$x + \frac{8}{x} \le 6$

$x + \frac{8}{x} - 6 \le 0$

Приведем к общему знаменателю, ОДЗ: $x \ne 0$.

$\frac{x^2 - 6x + 8}{x} \le 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Используем метод интервалов для выражения $\frac{(x-2)(x-4)}{x} \le 0$.

Критические точки: 0, 2, 4.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2]$, $[2, 4]$, $[4, +\infty)$, получаем:

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-8, -1)$

Решение 2: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, 4]$

Пересечением этих множеств является интервал $(-8, -1)$.

Ответ: $x \in (-8, -1)$.

б)

Решим систему из двух неравенств:

1) $x + \frac{3}{x} \le -4$

2) $\frac{x-4}{x-3} > \frac{x-3}{x-4}$

Решим первое неравенство:

$x + \frac{3}{x} + 4 \le 0$

Приведем к общему знаменателю, ОДЗ: $x \ne 0$.

$\frac{x^2 + 4x + 3}{x} \le 0$

Найдем корни числителя $x^2 + 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Используем метод интервалов для выражения $\frac{(x+3)(x+1)}{x} \le 0$.

Критические точки: -3, -1, 0.

Проверяя знаки на интервалах, получаем:

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{x-4}{x-3} - \frac{x-3}{x-4} > 0$

ОДЗ: $x \ne 3, x \ne 4$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-4)^2 - (x-3)^2}{(x-3)(x-4)} > 0$

Используем формулу разности квадратов в числителе:

$\frac{((x-4) - (x-3))((x-4) + (x-3))}{(x-3)(x-4)} > 0$

$\frac{(-1)(2x-7)}{(x-3)(x-4)} > 0$

$\frac{2x-7}{(x-3)(x-4)} < 0$

Критические точки: 3, 3.5, 4.

Методом интервалов находим решение:

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3) \cup (3.5, 4)$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$

Решение 2: $x \in (-\infty, 3) \cup (3.5, 4)$

Пересечение $(-\infty, -3] \cup [-1, 0)$ и $(-\infty, 3)$ дает $(-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

Интервал $(3.5, 4)$ не пересекается с решением первого неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

в)

Решим систему из двух неравенств:

1) $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{2x + 3} \le 0$

2) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2}$

Решим первое неравенство:

Разложим числитель на множители: $x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x-1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1)$.

Выражение $x^2+1$ всегда положительно. Неравенство равносильно:

$\frac{x-1}{2x+3} \le 0$

ОДЗ: $x \ne -1.5$.

Критические точки: -1.5, 1.

Методом интервалов получаем, что неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, то есть между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1.5, 1]$.

Решим второе неравенство:

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0$

ОДЗ: $x \ne -1, x \ne -2, x \ne -3$.

Приведем к общему знаменателю $(x+1)(x+2)(x+3)$:

$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+2) - 3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{(x^2+5x+6) + (2x^2+6x+4) - (3x^2+12x+9)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{-x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0$

Критические точки: -3, -2, -1, 1.

Методом интервалов получаем:

Решение второго неравенства: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-1.5, 1]$

Решение 2: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$

Пересекая $(-1.5, 1]$ с $(-3, -2)$, получаем пустое множество. Пересекая $(-1.5, 1]$ с $(-1, 1)$, получаем $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

г)

Решим систему из двух неравенств:

1) $\frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \ge 0$

2) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \le \frac{1-2x}{x^2-1}$

Решим первое неравенство:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$\frac{x(x^2+x+1)}{(3x-5)(3x+5)} \ge 0$

Выражение $x^2+x+1$ всегда положительно (дискриминант $D = 1-4 = -3 < 0$).

Неравенство равносильно:

$\frac{x}{(3x-5)(3x+5)} \ge 0$

Критические точки: $x=0$, $x=5/3$, $x=-5/3$.

Методом интервалов получаем:

Решение первого неравенства: $x \in (-5/3, 0] \cup (5/3, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{1-2x}{x^2-1} \le 0$

ОДЗ: $x \ne \pm 1$. Знаменатель $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{x-1 + 2(x+1) - (1-2x)}{(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{x-1+2x+2-1+2x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{5x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

Критические точки: -1, 0, 1.

Методом интервалов получаем:

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-5/3, 0] \cup (5/3, +\infty)$

Решение 2: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$

Пересекаем $(-5/3, 0]$ с $(-\infty, -1) \cup [0, 1)$:

1) $(-5/3, 0] \cap (-\infty, -1) = (-5/3, -1)$

2) $(-5/3, 0] \cap [0, 1) = \{0\}$

Пересекаем $(5/3, +\infty)$ с $(-\infty, -1) \cup [0, 1)$:

3) $(5/3, +\infty) \cap ((-\infty, -1) \cup [0, 1)) = \emptyset$

Объединяем полученные результаты: $(-5/3, -1) \cup \{0\}$.

Ответ: $x \in (-5/3, -1) \cup \{0\}$.