Номер 4.33, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.33 Найдите все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

а) $\begin{cases} 0,2x > -1 \\ \frac{x}{3} \ge 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x-1}{2} < \frac{x}{3} \\ \frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5} \end{cases}$

в) $\begin{cases} 1 - 0,5x \ge 0 \\ -\frac{x+5}{5} < -1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5} \\ \frac{x}{3} > \frac{x+4}{7} \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 0,2x > -1, \\ -\frac{x}{3} \ge 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$0,2x > -1$
Разделим обе части на 0,2:
$x > \frac{-1}{0,2}$
$x > -5$

2. Решим второе неравенство:
$-\frac{x}{3} \ge 1$
Умножим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le 1 \cdot (-3)$
$x \le -3$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x > -5$ и $x \le -3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-5 < x \le -3$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -4, -3.

Ответ: -4, -3.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{2} < \frac{x}{3}, \\ \frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$\frac{x-1}{2} < \frac{x}{3}$
Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$3(x-1) < 2x$
$3x - 3 < 2x$
$3x - 2x < 3$
$x < 3$

2. Решим второе неравенство:
$\frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5}$
Умножим обе части на 10 (наименьшее общее кратное для 2 и 5):
$5(x+1) \ge 2x$
$5x + 5 \ge 2x$
$5x - 2x \ge -5$
$3x \ge -5$
$x \ge -\frac{5}{3}$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x \ge -\frac{5}{3}$ и $x < 3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{5}{3} \le x < 3$.
Так как $-\frac{5}{3} \approx -1,67$, то целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -1, 0, 1, 2.

Ответ: -1, 0, 1, 2.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - 0,5x \ge 0, \\ -\frac{x+5}{5} < -1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$1 - 0,5x \ge 0$
$-0,5x \ge -1$
Умножим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le 2$

2. Решим второе неравенство:
$-\frac{x+5}{5} < -1$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x+5}{5} > 1$
Умножим обе части на 5:
$x+5 > 5$
$x > 0$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x > 0$ и $x \le 2$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x \le 2$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: 1, 2.

Ответ: 1, 2.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5}, \\ \frac{x}{3} > \frac{x+4}{7}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$\frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5}$
Умножим обе части на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5):
$5(x-1) \le 4x$
$5x - 5 \le 4x$
$5x - 4x \le 5$
$x \le 5$

2. Решим второе неравенство:
$\frac{x}{3} > \frac{x+4}{7}$
Умножим обе части на 21 (наименьшее общее кратное для 3 и 7):
$7x > 3(x+4)$
$7x > 3x + 12$
$7x - 3x > 12$
$4x > 12$
$x > 3$

3. Объединим решения:
Мы получили, что $x > 3$ и $x \le 5$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 < x \le 5$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: 4, 5.

Ответ: 4, 5.