Номер 4.36, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

4.36 a) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5x + 6} < 0;$

б) $(x + 3)\sqrt{(x + 4)(2 - x)} \ge 0;$

в) $\sqrt{x^2 + 3x + 4} \cdot (x - 2) > 0;$

г) $(5 - x)\sqrt{(x - 1)(x + 5)} \ge 0.$

а) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5x + 6} < 0$

Неравенство имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно (область допустимых значений, ОДЗ):
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 2, x_2 = 3$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.
Теперь рассмотрим исходное неравенство. Произведение двух множителей отрицательно. Так как $\sqrt{x^2 - 5x + 6}$ не может быть отрицательным, то для выполнения неравенства он должен быть строго больше нуля, а множитель $(x - 1)$ должен быть строго меньше нуля. Это эквивалентно системе:
$\begin{cases} x - 1 < 0 \\ \sqrt{x^2 - 5x + 6} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \end{cases}$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Найдем пересечение решений системы: $x < 1$ и $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Пересечением является интервал $(-\infty, 1)$. Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\infty, 1)$.

б) $(x + 3)\sqrt{(x + 4)(2 - x)} \ge 0$

Это неравенство типа $A \cdot \sqrt{B} \ge 0$ равносильно совокупности двух случаев:
1) Выражение под корнем равно нулю. В этом случае все неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$.
$(x + 4)(2 - x) = 0$
$x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Эти значения являются решениями.
2) Выражение под корнем строго больше нуля, и при этом первый множитель неотрицателен.
$\begin{cases} (x + 4)(2 - x) > 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $(x + 4)(2 - x) > 0$. Корни -4 и 2. Ветви параболы $y = -x^2 - 2x + 8$ направлены вниз, поэтому решение: $x \in (-4, 2)$.
Решим второе неравенство: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Найдем пересечение этих решений: $x \in (-4, 2) \cap [-3, \infty) \implies x \in [-3, 2)$.
Объединяем решения из обоих случаев: $\{-4, 2\} \cup [-3, 2)$.

Ответ: $\{-4\} \cup [-3, 2]$.

в) $\sqrt{x^2 + 3x + 4} \cdot (x - 2) > 0$

Рассмотрим выражение под корнем $x^2 + 3x + 4$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 + 3x + 4$ всегда положительно для любого действительного $x$.
Следовательно, корень $\sqrt{x^2 + 3x + 4}$ также определен и положителен для любого $x$.
Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное число, знак неравенства при этом не изменится:
$x - 2 > 0$
$x > 2$

Ответ: $(2, \infty)$.

г) $(5 - x)\sqrt{(x - 1)(x + 5)} \ge 0$

Неравенство равносильно совокупности двух случаев:
1) Подкоренное выражение равно нулю, что делает все выражение равным нулю и удовлетворяет условию $\ge 0$.
$(x - 1)(x + 5) = 0$
$x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Эти значения являются решениями.
2) Подкоренное выражение строго больше нуля, и первый множитель неотрицателен.
$\begin{cases} (x - 1)(x + 5) > 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $(x - 1)(x + 5) > 0$. Корни -5 и 1. Ветви параболы $y = x^2+4x-5$ направлены вверх, решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.
Решим второе неравенство: $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.
Найдем пересечение: $( (-\infty, -5) \cup (1, \infty) ) \cap (-\infty, 5]$.
Пересечение дает $x \in (-\infty, -5) \cup (1, 5]$.
Объединяем решения из обоих случаев: $\{-5, 1\} \cup (-\infty, -5) \cup (1, 5]$.

Ответ: $(-\infty, -5] \cup [1, 5]$.