Номер 4.35, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.35 a) $\begin{cases} |2x + 4| < 6, \\ 3 - 2x > -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 < 25, \\ |2x + 1| \ge 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} |3x + 1| < 10, \\ 4x + 3 < 11; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 \ge 1, \\ |5x - 1| < 29. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |2x + 4| < 6, \\ 3 - 2x > -1; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $|2x + 4| < 6$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-6 < 2x + 4 < 6$
Вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-6 - 4 < 2x < 6 - 4$
$-10 < 2x < 2$
Разделим все части на 2:
$-5 < x < 1$
Решение первого неравенства: $x \in (-5; 1)$.

Решим второе неравенство: $3 - 2x > -1$.
Перенесем 3 в правую часть:
$-2x > -1 - 3$
$-2x > -4$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-4}{-2}$
$x < 2$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-5; 1) \cap (-\infty; 2)$.
Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-5; 1)$.
Ответ: $x \in (-5; 1)$.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 < 25, \\ |2x + 1| \ge 3; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 < 25$.
Это неравенство равносильно $|x| < 5$, что означает:
$-5 < x < 5$
Решение первого неравенства: $x \in (-5; 5)$.

Решим второе неравенство: $|2x + 1| \ge 3$.
Это неравенство распадается на совокупность двух неравенств:
$2x + 1 \ge 3$ или $2x + 1 \le -3$.
Решая первое: $2x \ge 2 \implies x \ge 1$.
Решая второе: $2x \le -4 \implies x \le -2$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-5; 5) \cap ((-\infty; -2] \cup [1; \infty))$.
Пересечение интервала $(-5; 5)$ с множеством $(-\infty; -2] \cup [1; \infty)$ дает объединение двух интервалов: $(-5; -2]$ и $[1; 5)$.
Ответ: $x \in (-5; -2] \cup [1; 5)$.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |3x + 1| < 10, \\ 4x + 3 < 11; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $|3x + 1| < 10$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-10 < 3x + 1 < 10$
Вычтем 1 из всех частей:
$-11 < 3x < 9$
Разделим все части на 3:
$-\frac{11}{3} < x < 3$
Решение первого неравенства: $x \in (-\frac{11}{3}; 3)$.

Решим второе неравенство: $4x + 3 < 11$.
Вычтем 3 из обеих частей:
$4x < 8$
Разделим на 4:
$x < 2$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\frac{11}{3}; 3) \cap (-\infty; 2)$.
Пересечением этих интервалов является интервал $(-\frac{11}{3}; 2)$.
Ответ: $x \in (-\frac{11}{3}; 2)$.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 \ge 1, \\ |5x - 1| < 29; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 1$.
Это неравенство равносильно $|x| \ge 1$, что означает:
$x \le -1$ или $x \ge 1$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

Решим второе неравенство: $|5x - 1| < 29$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-29 < 5x - 1 < 29$
Прибавим 1 ко всем частям:
$-28 < 5x < 30$
Разделим все части на 5:
$-\frac{28}{5} < x < 6$
$-5.6 < x < 6$
Решение второго неравенства: $x \in (-5.6; 6)$.

Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty; -1] \cup [1; \infty)) \cap (-5.6; 6)$.
Пересечение интервала $(-5.6; 6)$ с множеством $(-\infty; -1] \cup [1; \infty)$ дает объединение двух интервалов: $(-5.6; -1]$ и $[1; 6)$.
Ответ: $x \in (-5.6; -1] \cup [1; 6)$.