Номер 4.40, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.40 При каких значениях параметра $p$ неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$:

а) не имеет решений;

б) выполняется при любых значениях $x$?

Рассмотрим данное неравенство: $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$.

Это неравенство является квадратным относительно переменной $x$, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $p - 2 = 0$, то есть при $p = 2$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$(2 - 2)x^2 - (2 - 4)x + (3 \cdot 2 - 2) > 0$

$0 \cdot x^2 - (-2)x + (6 - 2) > 0$

$2x + 4 > 0$

$2x > -4$

$x > -2$

При $p=2$ решением неравенства является интервал $x \in (-2, +\infty)$. Это означает, что неравенство имеет решения, но выполняется не для всех значений $x$. Следовательно, значение $p=2$ не подходит ни для одного из пунктов задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

При $p \neq 2$ левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = (p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2)$. Ее график — парабола. Характер решений неравенства зависит от знака старшего коэффициента $a = p - 2$ и дискриминанта $D$.

Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена:

$D = (-(p-4))^2 - 4(p-2)(3p-2)$

$D = (p-4)^2 - 4(3p^2 - 2p - 6p + 4)$

$D = p^2 - 8p + 16 - 4(3p^2 - 8p + 4)$

$D = p^2 - 8p + 16 - 12p^2 + 32p - 16$

$D = -11p^2 + 24p = p(24 - 11p)$

Теперь решим каждый из подпунктов.

а) не имеет решений

Неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда противоположное неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) \le 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Чтобы парабола $f(x)$ была целиком расположена не выше оси абсцисс, необходимо и достаточно выполнения двух условий: ветви параболы должны быть направлены вниз ($a<0$), и парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью абсцисс ($D \le 0$).

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} p - 2 < 0 \\ p(24 - 11p) \le 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $p < 2$.

Второе неравенство $p(24 - 11p) \le 0$. Корни левой части: $p_1 = 0$ и $p_2 = 24/11$. Так как это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $p^2$ равен -11), она принимает неположительные значения на промежутках $(-\infty, 0] \cup [24/11, +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $p \in (-\infty, 2)$ и $p \in (-\infty, 0] \cup [24/11, +\infty)$. Так как $24/11 = 2 \frac{2}{11} > 2$, то пересечением будет промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: $p \in (-\infty, 0]$.

б) выполняется при любых значениях x

Неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$ выполняется для любого $x$, если парабола $f(x)$ целиком расположена выше оси абсцисс.

Для этого необходимо и достаточно выполнения двух условий: ветви параболы должны быть направлены вверх ($a>0$), и парабола не должна иметь точек пересечения с осью абсцисс ($D < 0$).

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} p - 2 > 0 \\ p(24 - 11p) < 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $p > 2$.

Из решения в пункте а) известно, что неравенство $p(24 - 11p) < 0$ выполняется при $p \in (-\infty, 0) \cup (24/11, +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $p \in (2, +\infty)$ и $p \in (-\infty, 0) \cup (24/11, +\infty)$. Так как $24/11 = 2 \frac{2}{11} > 2$, пересечением будет промежуток $(24/11, +\infty)$.

Ответ: $p \in (24/11, +\infty)$.