Номер 5, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5 Найдите область определения выражения $ \sqrt{5x^2 + 2x - 3} $.

Область определения выражения, содержащего квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

В данном случае, подкоренное выражение — это $5x^2 + 2x - 3$. Таким образом, нам необходимо решить следующее квадратное неравенство:

$5x^2 + 2x - 3 \geq 0$

Для решения неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 2x - 3 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем уравнении $a = 5$, $b = 2$, $c = -3$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь вернемся к неравенству $5x^2 + 2x - 3 \geq 0$. Графиком функции $y = 5x^2 + 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 5) положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = \frac{3}{5}$.

Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \geq 0$) на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \leq -1$ и при $x \geq \frac{3}{5}$.

Таким образом, область определения выражения — это объединение двух промежутков: $(-\infty; -1]$ и $[\frac{3}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{3}{5}; +\infty)$.