Номер 4.41, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.41 Множество A состоит из натуральных чисел, обладающих следующими свойствами: если к удвоенному выбранному элементу множества A прибавить 65, то полученная сумма будет меньше утроенного выбранного элемента ($2x + 65 < 3x$); если же выбранный элемент множества A умножить на 4 и к этому произведению прибавить 80, то полученная сумма будет не меньше, чем увеличенный в 5 раз выбранный элемент ($4x + 80 \ge 5x$). Из скольких элементов состоит множество A?

Пусть $x$ — произвольный элемент множества $A$. По условию, множество $A$ состоит из натуральных чисел, значит $x \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим первое свойство: «если к удвоенному выбранному элементу множества А прибавить 65, то полученная сумма будет меньше утроенного выбранного элемента». Запишем это условие в виде математического неравенства:$2x + 65 < 3x$

Решим это неравенство относительно $x$:$65 < 3x - 2x$$65 < x$Это означает, что любой элемент множества $A$ должен быть строго больше 65.

Теперь рассмотрим второе свойство: «если же выбранный элемент множества А умножить на 4 и к этому произведению прибавить 80, то полученная сумма будет не меньше, чем увеличенный в 5 раз выбранный элемент». Фраза «не меньше» означает «больше или равно» ($\ge$). Запишем это условие в виде неравенства:$4x + 80 \ge 5x$

Решим второе неравенство:$80 \ge 5x - 4x$$80 \ge x$Это означает, что любой элемент множества $A$ должен быть меньше или равен 80.

Итак, каждый элемент $x$ множества $A$ должен удовлетворять двум условиям одновременно: $x > 65$ и $x \le 80$. Также мы помним, что $x$ — натуральное число. Объединив условия, получим двойное неравенство:$65 < x \le 80$

Нам нужно найти все натуральные числа, которые находятся в этом интервале. Перечислим их:66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80.

Чтобы найти количество элементов в этом множестве, нужно из последнего числа вычесть первое и прибавить единицу:$80 - 66 + 1 = 14 + 1 = 15$Таким образом, множество $A$ состоит из 15 элементов.
Ответ: 15.