Страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.40 При каких значениях параметра $p$ неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$:

а) не имеет решений;

б) выполняется при любых значениях $x$?

Рассмотрим данное неравенство: $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$.

Это неравенство является квадратным относительно переменной $x$, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $p - 2 = 0$, то есть при $p = 2$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$(2 - 2)x^2 - (2 - 4)x + (3 \cdot 2 - 2) > 0$

$0 \cdot x^2 - (-2)x + (6 - 2) > 0$

$2x + 4 > 0$

$2x > -4$

$x > -2$

При $p=2$ решением неравенства является интервал $x \in (-2, +\infty)$. Это означает, что неравенство имеет решения, но выполняется не для всех значений $x$. Следовательно, значение $p=2$ не подходит ни для одного из пунктов задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

При $p \neq 2$ левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = (p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2)$. Ее график — парабола. Характер решений неравенства зависит от знака старшего коэффициента $a = p - 2$ и дискриминанта $D$.

Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена:

$D = (-(p-4))^2 - 4(p-2)(3p-2)$

$D = (p-4)^2 - 4(3p^2 - 2p - 6p + 4)$

$D = p^2 - 8p + 16 - 4(3p^2 - 8p + 4)$

$D = p^2 - 8p + 16 - 12p^2 + 32p - 16$

$D = -11p^2 + 24p = p(24 - 11p)$

Теперь решим каждый из подпунктов.

а) не имеет решений

Неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда противоположное неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) \le 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Чтобы парабола $f(x)$ была целиком расположена не выше оси абсцисс, необходимо и достаточно выполнения двух условий: ветви параболы должны быть направлены вниз ($a<0$), и парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью абсцисс ($D \le 0$).

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} p - 2 < 0 \\ p(24 - 11p) \le 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $p < 2$.

Второе неравенство $p(24 - 11p) \le 0$. Корни левой части: $p_1 = 0$ и $p_2 = 24/11$. Так как это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $p^2$ равен -11), она принимает неположительные значения на промежутках $(-\infty, 0] \cup [24/11, +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $p \in (-\infty, 2)$ и $p \in (-\infty, 0] \cup [24/11, +\infty)$. Так как $24/11 = 2 \frac{2}{11} > 2$, то пересечением будет промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: $p \in (-\infty, 0]$.

б) выполняется при любых значениях x

Неравенство $(p - 2)x^2 - (p - 4)x + (3p - 2) > 0$ выполняется для любого $x$, если парабола $f(x)$ целиком расположена выше оси абсцисс.

Для этого необходимо и достаточно выполнения двух условий: ветви параболы должны быть направлены вверх ($a>0$), и парабола не должна иметь точек пересечения с осью абсцисс ($D < 0$).

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} p - 2 > 0 \\ p(24 - 11p) < 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $p > 2$.

Из решения в пункте а) известно, что неравенство $p(24 - 11p) < 0$ выполняется при $p \in (-\infty, 0) \cup (24/11, +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $p \in (2, +\infty)$ и $p \in (-\infty, 0) \cup (24/11, +\infty)$. Так как $24/11 = 2 \frac{2}{11} > 2$, пересечением будет промежуток $(24/11, +\infty)$.

Ответ: $p \in (24/11, +\infty)$.

4.41 Множество A состоит из натуральных чисел, обладающих следующими свойствами: если к удвоенному выбранному элементу множества A прибавить 65, то полученная сумма будет меньше утроенного выбранного элемента ($2x + 65 < 3x$); если же выбранный элемент множества A умножить на 4 и к этому произведению прибавить 80, то полученная сумма будет не меньше, чем увеличенный в 5 раз выбранный элемент ($4x + 80 \ge 5x$). Из скольких элементов состоит множество A?

Пусть $x$ — произвольный элемент множества $A$. По условию, множество $A$ состоит из натуральных чисел, значит $x \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим первое свойство: «если к удвоенному выбранному элементу множества А прибавить 65, то полученная сумма будет меньше утроенного выбранного элемента». Запишем это условие в виде математического неравенства:$2x + 65 < 3x$

Решим это неравенство относительно $x$:$65 < 3x - 2x$$65 < x$Это означает, что любой элемент множества $A$ должен быть строго больше 65.

Теперь рассмотрим второе свойство: «если же выбранный элемент множества А умножить на 4 и к этому произведению прибавить 80, то полученная сумма будет не меньше, чем увеличенный в 5 раз выбранный элемент». Фраза «не меньше» означает «больше или равно» ($\ge$). Запишем это условие в виде неравенства:$4x + 80 \ge 5x$

Решим второе неравенство:$80 \ge 5x - 4x$$80 \ge x$Это означает, что любой элемент множества $A$ должен быть меньше или равен 80.

Итак, каждый элемент $x$ множества $A$ должен удовлетворять двум условиям одновременно: $x > 65$ и $x \le 80$. Также мы помним, что $x$ — натуральное число. Объединив условия, получим двойное неравенство:$65 < x \le 80$

Нам нужно найти все натуральные числа, которые находятся в этом интервале. Перечислим их:66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80.

Чтобы найти количество элементов в этом множестве, нужно из последнего числа вычесть первое и прибавить единицу:$80 - 66 + 1 = 14 + 1 = 15$Таким образом, множество $A$ состоит из 15 элементов.
Ответ: 15.

1 Множество $M$ состоит из всех двузначных чисел, которые при делении на 11 дают остаток 7. Задайте множество $M$, перечислив все его элементы.

Условие задачи состоит в том, чтобы найти все двузначные числа, которые при делении на 11 дают в остатке 7. Обозначим искомое число как $x$, а множество таких чисел как $M$.

Согласно определению деления с остатком, любое такое число $x$ можно представить в виде формулы: $x = 11 \cdot k + 7$, где $k$ — это неполное частное, которое должно быть целым неотрицательным числом.

Мы ищем двузначные числа. Это значит, что они должны находиться в диапазоне от 10 до 99 включительно. Запишем это в виде двойного неравенства: $10 \le x \le 99$.

Теперь подставим выражение для $x$ в это неравенство, чтобы найти возможные значения для $k$: $10 \le 11 \cdot k + 7 \le 99$.

Решим это неравенство относительно $k$. Для начала вычтем 7 из всех трех частей неравенства: $10 - 7 \le 11 \cdot k + 7 - 7 \le 99 - 7$ $3 \le 11 \cdot k \le 92$

Теперь разделим все части неравенства на 11, чтобы найти границы для $k$: $\frac{3}{11} \le k \le \frac{92}{11}$ Вычислим приближенные значения дробей: $0.27... \le k \le 8.36...$

Поскольку $k$ по определению является целым числом, его возможные значения — это все целые числа в полученном диапазоне. Таким образом, $k$ может быть равен 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.

Найдем все элементы множества $M$, последовательно подставляя каждое возможное значение $k$ в формулу $x = 11 \cdot k + 7$:

• При $k=1$: $x = 11 \cdot 1 + 7 = 11 + 7 = 18$
• При $k=2$: $x = 11 \cdot 2 + 7 = 22 + 7 = 29$
• При $k=3$: $x = 11 \cdot 3 + 7 = 33 + 7 = 40$
• При $k=4$: $x = 11 \cdot 4 + 7 = 44 + 7 = 51$
• При $k=5$: $x = 11 \cdot 5 + 7 = 55 + 7 = 62$
• При $k=6$: $x = 11 \cdot 6 + 7 = 66 + 7 = 73$
• При $k=7$: $x = 11 \cdot 7 + 7 = 77 + 7 = 84$
• При $k=8$: $x = 11 \cdot 8 + 7 = 88 + 7 = 95$

Мы перечислили все возможные значения $x$. Это и есть все элементы искомого множества $M$.

Ответ: $M = \{18, 29, 40, 51, 62, 73, 84, 95\}$.

2 Приведите какое-нибудь словесное описание множества $M = \{1, 4, 9, 16, 25, \dots, 81\}$.

Для того чтобы дать словесное описание множества $M = \{1, 4, 9, 16, 25, ..., 81\}$, необходимо выявить закономерность, по которой составлены его элементы.

Проанализируем известные элементы множества:

• $1$ — это квадрат числа 1, то есть $1^2$.
• $4$ — это квадрат числа 2, то есть $2^2$.
• $9$ — это квадрат числа 3, то есть $3^2$.
• $16$ — это квадрат числа 4, то есть $4^2$.
• $25$ — это квадрат числа 5, то есть $5^2$.

Многоточие в записи множества указывает на то, что последовательность продолжается по тому же правилу. Последний элемент множества — это число $81$.

$81$ — это квадрат числа 9, то есть $9^2$.

Таким образом, все элементы множества $M$ являются квадратами последовательных натуральных чисел, начиная с 1 и заканчивая 9. Полный список элементов множества выглядит так:$M = \{1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2\} = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81\}$.

Следовательно, мы можем сформулировать словесное описание этого множества.

Ответ: Множество M является множеством квадратов натуральных чисел от 1 до 9 включительно.

3 Для множеств $A = [1; 5)$, $B = [4; 6]$ и $C = (-3; 2]$ найдите множество $(A \cup B) \cap C$.

Для решения данной задачи необходимо последовательно выполнить операции объединения и пересечения множеств. Исходные данные: $A = [1; 5]$, $B = [4; 6]$, $C = (-3; 2]$.

1. Найдем объединение множеств $A \cup B$

Операция объединения ($A \cup B$) создает новое множество, которое содержит все элементы, принадлежащие множеству $A$, или множеству $B$, или обоим сразу. Множество $A$ представляет собой числовой отрезок от 1 до 5 включительно. Множество $B$ — отрезок от 4 до 6 включительно. Поскольку эти два отрезка пересекаются (их общая часть — $[4; 5]$), их объединением будет единый отрезок, начинающийся с наименьшей границы (1) и заканчивающийся наибольшей границей (6).

$A \cup B = [1; 5] \cup [4; 6] = [1; 6]$

2. Найдем пересечение множеств $(A \cup B)$ и $C$

Теперь необходимо найти пересечение ($(A \cup B) \cap C$) полученного множества $[1; 6]$ и множества $C = (-3; 2]$. Операция пересечения находит все элементы, которые являются общими для обоих множеств.

Мы ищем общие точки для числовых промежутков $[1; 6]$ и $(-3; 2]$.

Для нахождения пересечения нужно взять наибольшую из левых границ и наименьшую из правых.
Левые границы: 1 (включительно) и -3 (не включительно). Наибольшая из них — 1.
Правые границы: 6 (включительно) и 2 (включительно). Наименьшая из них — 2.

Таким образом, пересечением является промежуток от 1 до 2. Поскольку число 1 принадлежит обоим множествам ($1 \in [1; 6]$ и $1 \in (-3; 2]$), и число 2 также принадлежит обоим множествам ($2 \in [1; 6]$ и $2 \in (-3; 2]$), то обе границы включаются в итоговый отрезок.

$(A \cup B) \cap C = [1; 6] \cap (-3; 2] = [1; 2]$

Ответ: $[1; 2]$

4 Решите неравенство

$|2x + 4| \leq 7.$

Данное неравенство $|2x + 4| \le 7$ является неравенством с модулем вида $|f(x)| \le a$, где $a \ge 0$. Такое неравенство равносильно двойному неравенству:

$-a \le f(x) \le a$

Применив это правило к нашему случаю, получаем:

$-7 \le 2x + 4 \le 7$

Теперь решим это двойное неравенство. Для этого последовательно выполним преобразования со всеми тремя его частями, чтобы в центральной части осталась только переменная $x$.

1. Сначала вычтем $4$ из всех частей неравенства:

$-7 - 4 \le 2x + 4 - 4 \le 7 - 4$

$-11 \le 2x \le 3$

2. Затем разделим все части на $2$. Так как $2$ - положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-11}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{3}{2}$

$-5.5 \le x \le 1.5$

Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел $x$, удовлетворяющих условию $-5.5 \le x \le 1.5$. Это можно записать в виде числового промежутка (отрезка).

Ответ: $x \in [-5.5; 1.5]$

5 Найдите область определения выражения $ \sqrt{5x^2 + 2x - 3} $.

Область определения выражения, содержащего квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

В данном случае, подкоренное выражение — это $5x^2 + 2x - 3$. Таким образом, нам необходимо решить следующее квадратное неравенство:

$5x^2 + 2x - 3 \geq 0$

Для решения неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 2x - 3 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем уравнении $a = 5$, $b = 2$, $c = -3$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь вернемся к неравенству $5x^2 + 2x - 3 \geq 0$. Графиком функции $y = 5x^2 + 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 5) положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = \frac{3}{5}$.

Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \geq 0$) на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \leq -1$ и при $x \geq \frac{3}{5}$.

Таким образом, область определения выражения — это объединение двух промежутков: $(-\infty; -1]$ и $[\frac{3}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{3}{5}; +\infty)$.

$\frac{x^2 + 2.5x - 18}{1.5x - 6} > 1$

Для решения неравенства перенесем 1 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18}{1,5x - 6} > 1 $

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18}{1,5x - 6} - 1 > 0 $

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18 - (1,5x - 6)}{1,5x - 6} > 0 $

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18 - 1,5x + 6}{1,5x - 6} > 0 $

$ \frac{x^2 + x - 12}{1,5x - 6} > 0 $

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета:$x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$.
Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.

2. Найдем нуль знаменателя: $1,5x - 6 = 0$.
$1,5x = 6$
$x = \frac{6}{1,5} = 4$.

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$ \frac{(x+4)(x-3)}{1,5(x-4)} > 0 $

Так как $1,5 > 0$, на знак неравенства этот множитель не влияет, и мы можем его опустить:

$ \frac{(x+4)(x-3)}{x-4} > 0 $

Отметим на числовой оси нули числителя (-4 и 3) и нуль знаменателя (4). Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом из них:

- при $x \in (4; +\infty)$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$, знак «+».

- при $x \in (3; 4)$ (например, $x=3,5$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$, знак «-».

- при $x \in (-4; 3)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$, знак «+».

- при $x \in (-\infty; -4)$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$, знак «-».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть те интервалы, где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-4; 3) \cup (4; +\infty)$.