Номер 1, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1 Множество $M$ состоит из всех двузначных чисел, которые при делении на 11 дают остаток 7. Задайте множество $M$, перечислив все его элементы.

Условие задачи состоит в том, чтобы найти все двузначные числа, которые при делении на 11 дают в остатке 7. Обозначим искомое число как $x$, а множество таких чисел как $M$.

Согласно определению деления с остатком, любое такое число $x$ можно представить в виде формулы: $x = 11 \cdot k + 7$, где $k$ — это неполное частное, которое должно быть целым неотрицательным числом.

Мы ищем двузначные числа. Это значит, что они должны находиться в диапазоне от 10 до 99 включительно. Запишем это в виде двойного неравенства: $10 \le x \le 99$.

Теперь подставим выражение для $x$ в это неравенство, чтобы найти возможные значения для $k$: $10 \le 11 \cdot k + 7 \le 99$.

Решим это неравенство относительно $k$. Для начала вычтем 7 из всех трех частей неравенства: $10 - 7 \le 11 \cdot k + 7 - 7 \le 99 - 7$ $3 \le 11 \cdot k \le 92$

Теперь разделим все части неравенства на 11, чтобы найти границы для $k$: $\frac{3}{11} \le k \le \frac{92}{11}$ Вычислим приближенные значения дробей: $0.27... \le k \le 8.36...$

Поскольку $k$ по определению является целым числом, его возможные значения — это все целые числа в полученном диапазоне. Таким образом, $k$ может быть равен 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.

Найдем все элементы множества $M$, последовательно подставляя каждое возможное значение $k$ в формулу $x = 11 \cdot k + 7$:

• При $k=1$: $x = 11 \cdot 1 + 7 = 11 + 7 = 18$
• При $k=2$: $x = 11 \cdot 2 + 7 = 22 + 7 = 29$
• При $k=3$: $x = 11 \cdot 3 + 7 = 33 + 7 = 40$
• При $k=4$: $x = 11 \cdot 4 + 7 = 44 + 7 = 51$
• При $k=5$: $x = 11 \cdot 5 + 7 = 55 + 7 = 62$
• При $k=6$: $x = 11 \cdot 6 + 7 = 66 + 7 = 73$
• При $k=7$: $x = 11 \cdot 7 + 7 = 77 + 7 = 84$
• При $k=8$: $x = 11 \cdot 8 + 7 = 88 + 7 = 95$

Мы перечислили все возможные значения $x$. Это и есть все элементы искомого множества $M$.

Ответ: $M = \{18, 29, 40, 51, 62, 73, 84, 95\}$.