Номер 6, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

$\frac{x^2 + 2.5x - 18}{1.5x - 6} > 1$

Для решения неравенства перенесем 1 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18}{1,5x - 6} > 1 $

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18}{1,5x - 6} - 1 > 0 $

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18 - (1,5x - 6)}{1,5x - 6} > 0 $

$ \frac{x^2 + 2,5x - 18 - 1,5x + 6}{1,5x - 6} > 0 $

$ \frac{x^2 + x - 12}{1,5x - 6} > 0 $

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета:$x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$.
Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.

2. Найдем нуль знаменателя: $1,5x - 6 = 0$.
$1,5x = 6$
$x = \frac{6}{1,5} = 4$.

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$ \frac{(x+4)(x-3)}{1,5(x-4)} > 0 $

Так как $1,5 > 0$, на знак неравенства этот множитель не влияет, и мы можем его опустить:

$ \frac{(x+4)(x-3)}{x-4} > 0 $

Отметим на числовой оси нули числителя (-4 и 3) и нуль знаменателя (4). Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом из них:

- при $x \in (4; +\infty)$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$, знак «+».

- при $x \in (3; 4)$ (например, $x=3,5$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$, знак «-».

- при $x \in (-4; 3)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$, знак «+».

- при $x \in (-\infty; -4)$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$, знак «-».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, то есть те интервалы, где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-4; 3) \cup (4; +\infty)$.