Номер 1, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1 Множество $M$ состоит из всех двузначных чисел, которые можно записать в виде $n^2 + 10$, где $n$ — натуральное число. Задайте множество $M$, перечислив все его элементы.

Согласно условию, множество $M$ состоит из всех двузначных чисел. Двузначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 до 99 включительно. Элементы множества $M$ должны соответствовать формуле $n^2 + 10$, где $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Чтобы найти все элементы множества $M$, необходимо найти все натуральные числа $n$, для которых значение выражения $n^2 + 10$ является двузначным числом. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$10 \le n^2 + 10 \le 99$

Решим это неравенство. Сначала рассмотрим левую часть: $10 \le n^2 + 10$. Вычитая 10 из обеих частей, получаем $0 \le n^2$. Это неравенство верно для любого натурального числа $n$.

Теперь рассмотрим правую часть: $n^2 + 10 \le 99$. Вычитая 10 из обеих частей, получаем $n^2 \le 89$.

Нам нужно найти все натуральные числа $n$, квадрат которых не превышает 89. Будем последовательно подставлять натуральные числа $n$ и вычислять значения выражения $n^2+10$, пока результат не выйдет за пределы двузначных чисел.

При $n=1$: $1^2 + 10 = 1 + 10 = 11$. (Это двузначное число)

При $n=2$: $2^2 + 10 = 4 + 10 = 14$. (Это двузначное число)

При $n=3$: $3^2 + 10 = 9 + 10 = 19$. (Это двузначное число)

При $n=4$: $4^2 + 10 = 16 + 10 = 26$. (Это двузначное число)

При $n=5$: $5^2 + 10 = 25 + 10 = 35$. (Это двузначное число)

При $n=6$: $6^2 + 10 = 36 + 10 = 46$. (Это двузначное число)

При $n=7$: $7^2 + 10 = 49 + 10 = 59$. (Это двузначное число)

При $n=8$: $8^2 + 10 = 64 + 10 = 74$. (Это двузначное число)

При $n=9$: $9^2 + 10 = 81 + 10 = 91$. (Это двузначное число)

Для следующего натурального числа $n=10$ получаем $10^2 = 100$, что больше 89. Значение выражения $10^2 + 10 = 110$ является трехзначным и не входит в множество $M$. Таким образом, подходящие значения $n$ — это натуральные числа от 1 до 9.

Соберем все полученные двузначные числа в множество $M$.

Ответ: $M = \{11, 14, 19, 26, 35, 46, 59, 74, 91\}$.