Номер 6, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Решите неравенство

$\frac{x^2 - 4,5x - 3}{5 - 2,5x} \le 1.$

Для решения данного неравенства перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3}{5 - 2,5x} \le 1 $$

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3}{5 - 2,5x} - 1 \le 0 $$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3 - (5 - 2,5x)}{5 - 2,5x} \le 0 $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3 - 5 + 2,5x}{5 - 2,5x} \le 0 $$

$$ \frac{x^2 - 2x - 8}{5 - 2,5x} \le 0 $$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.
С помощью дискриминанта $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$ или по теореме Виета, находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки $x=-2$ и $x=4$ включаются в решение.

Найдем корень знаменателя: $5 - 2,5x = 0$.
$2,5x = 5$, откуда $x = 2$.
Эта точка исключается из решения, так как на ноль делить нельзя.

Нанесем найденные точки на числовую прямую. Точки $-2$ и $4$ будут закрашенными, а точка $2$ — выколотой. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{5 - 2,5x}$ в каждом интервале:

- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-3)^2-2(-3)-8}{5-2,5(-3)} = \frac{9+6-8}{5+7,5} = \frac{7}{12,5} > 0$.
- при $-2 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0^2-2(0)-8}{5-2,5(0)} = \frac{-8}{5} < 0$.
- при $2 < x < 4$ (например, $x=3$): $\frac{3^2-2(3)-8}{5-2,5(3)} = \frac{9-6-8}{5-7,5} = \frac{-5}{-2,5} > 0$.
- при $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5^2-2(5)-8}{5-2,5(5)} = \frac{25-10-8}{5-12,5} = \frac{7}{-7,5} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. С учетом включенных и выколотых точек это интервалы $[-2; 2)$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2; 2) \cup [4; +\infty)$.