Номер 7, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7 Дано выражение $y=f(x)$, где $f(x)=\frac{(2x-3)^2 (3x+1)(x-3)}{x(2-x)}$.

Найдите значения переменной, при которых $f(x) \leq 0$.

Для решения неравенства $f(x) \le 0$, где $f(x) = \frac{(2x-3)^2(3x+1)(x-3)}{x(2-x)}$, воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Поэтому из решения исключаются значения $x$, для которых:

$x(2-x) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ne 0$ и $x \ne 2$.

2. Найдём нули функции

Теперь найдём значения $x$, при которых числитель равен нулю, то есть $f(x)=0$. Эти точки будут входить в решение, так как неравенство нестрогое ($\le$).

$(2x-3)^2(3x+1)(x-3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $(2x-3)^2 = 0 \implies 2x-3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$.
Это корень четной кратности (кратность 2), поэтому при переходе через эту точку на числовой оси знак функции меняться не будет.

б) $3x+1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.

в) $x-3 = 0 \implies x = 3$.

3. Решение методом интервалов

Нанесём на числовую ось все найденные точки (нули числителя и знаменателя) в порядке их возрастания: $-\frac{1}{3}, 0, 1.5, 2, 3$.

Нули числителя ($-\frac{1}{3}, 1.5, 3$) отмечаем закрашенными точками, а нули знаменателя ($0, 2$) — выколотыми (пустыми) точками.

Определим знак функции $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например, $x=4$.

$f(4) = \frac{(2 \cdot 4-3)^2(3 \cdot 4+1)(4-3)}{4(2-4)} = \frac{(+)^2(+)(+)}{(+)(-)} = \frac{+}{-}$, следовательно, знак «−».

Далее, двигаясь справа налево, чередуем знаки, учитывая, что при переходе через корень $x=1.5$ (четной кратности) знак не меняется:

• $(3; +\infty)$: −
• $(2; 3)$: +
• $(1.5; 2)$: −
• $(0; 1.5)$: − (знак не изменился)
• $(-\frac{1}{3}; 0)$: +
• $(-\infty; -\frac{1}{3})$: −

4. Формирование ответа

Нам нужны промежутки, где $f(x) \le 0$. Это все интервалы со знаком «−», а также закрашенные точки, входящие в них.

Выбираем соответствующие промежутки и точки:

$x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (0; 1.5] \cup [1.5; 2) \cup [3; +\infty)$

Объединяя интервалы $(0; 1.5]$ и $[1.5; 2)$, получаем один сплошной интервал $(0; 2)$.

Таким образом, окончательное решение:

$x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (0; 2) \cup [3; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (0; 2) \cup [3; +\infty)$.