Номер 8, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8 Решите систему неравенств

$ \begin{cases} 3x^2 - 7x - 10 \leq 0, \\ \frac{2x - 1}{2 - 3x} > 3. \end{cases} $

Для решения системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $3x^2 - 7x - 10 \le 0$.

Это квадратичное неравенство. Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 7x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 13}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 13}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 - 7x - 10$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 - 7x - 10 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решением первого неравенства является отрезок $[-1, \frac{10}{3}]$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x - 1}{2 - 3x} > 3$.

Перенесем 3 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{2x - 1}{2 - 3x} - 3 > 0$

$\frac{(2x - 1) - 3(2 - 3x)}{2 - 3x} > 0$

$\frac{2x - 1 - 6 + 9x}{2 - 3x} > 0$

$\frac{11x - 7}{2 - 3x} > 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль:

Числитель: $11x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{11}$.

Знаменатель: $2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3}$. Эта точка является выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Нанесем точки $\frac{7}{11}$ и $\frac{2}{3}$ на числовую ось. Учитывая, что $\frac{7}{11} \approx 0.636$ и $\frac{2}{3} \approx 0.667$, получаем $\frac{7}{11} < \frac{2}{3}$.

Определим знаки выражения $\frac{11x - 7}{2 - 3x}$ на интервалах $(-\infty, \frac{7}{11})$, $(\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}, +\infty)$.

• При $x=0$: $\frac{-7}{2} < 0$.
• При $x=0.65$ (точка между $\frac{7}{11}$ и $\frac{2}{3}$): $\frac{11(0.65) - 7}{2 - 3(0.65)} = \frac{7.15-7}{2-1.95} = \frac{0.15}{0.05} > 0$.
• При $x=1$: $\frac{11 - 7}{2 - 3} = \frac{4}{-1} < 0$.

Нас интересует интервал, где выражение положительно. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$.

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$x \in [-1, \frac{10}{3}] \cap (\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$.

Поскольку интервал $(\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$ полностью содержится в отрезке $[-1, \frac{10}{3}]$, их пересечением будет сам интервал $(\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{7}{11}; \frac{2}{3})$.