Номер 3, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3 Для множеств $A = [1; 4]$, $B = [2; 5]$ и $C = (3; 7]$ найдите множество $(A \cap B) \cup C$.

Для того чтобы найти множество $(A \cap B) \cup C$, необходимо выполнить действия в соответствии с порядком операций, указанным скобками. Сначала найдем пересечение множеств A и B, а затем — объединение полученного результата с множеством C.

Исходные множества представлены в виде числовых промежутков: $A = [1; 4]$ — это все действительные числа $x$ такие, что $1 \le x \le 4$. $B = [2; 5]$ — это все действительные числа $x$ такие, что $2 \le x \le 5$. $C = (3; 7]$ — это все действительные числа $x$ такие, что $3 < x \le 7$.

Шаг 1: Нахождение пересечения $A \cap B$

Операция пересечения ($ \cap $) находит общие элементы для заданных множеств. Нам нужно найти числа, которые одновременно принадлежат и промежутку $[1; 4]$, и промежутку $[2; 5]$. Визуализируя эти отрезки на числовой прямой, мы видим, что их общая часть начинается с левой границы второго отрезка (число 2) и заканчивается правой границей первого отрезка (число 4). Обе эти границы являются замкнутыми (включительными), так как скобки квадратные. Следовательно, результатом пересечения является отрезок $[2; 4]$. $A \cap B = [1; 4] \cap [2; 5] = [2; 4]$.

Шаг 2: Нахождение объединения $(A \cap B) \cup C$

Теперь необходимо выполнить операцию объединения ($ \cup $) для результата, полученного на первом шаге, и множества C. Нужно найти $(A \cap B) \cup C = [2; 4] \cup (3; 7]$. Операция объединения создает новое множество, которое включает в себя все элементы из обоих исходных множеств. Мы объединяем отрезок $[2; 4]$ (числа от 2 до 4 включительно) и полуинтервал $(3; 7]$ (числа больше 3 и до 7 включительно). Объединяя эти два промежутка, мы получаем один сплошной промежуток. Его левая граница будет наименьшим значением из обоих промежутков, то есть 2. Правая граница будет наибольшим значением, то есть 7. Так как 2 и 7 включены в исходные промежутки (квадратные скобки), они будут включены и в результирующий. Таким образом, $[2; 4] \cup (3; 7] = [2; 7]$.

Ответ: $[2; 7]$