Номер 7, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7 Дано выражение $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{(3x - 1)^2 (2x + 3)(5 - x)}{x(x - 1)}$.

Найдите значения переменной, при которых $f(x) \ge 0$.

Требуется найти значения переменной $x$, при которых выполняется неравенство:

$$ f(x) = \frac{(3x-1)^2(2x+3)(5-x)}{x(x-1)} \ge 0 $$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x(x-1) \ne 0$

Отсюда следует, что $x \ne 0$ и $x \ne 1$. На числовой оси эти точки будут "выколотыми".

2. Найдем нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых числитель равен нулю (а сама функция определена):

$(3x-1)^2(2x+3)(5-x) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

• $(3x-1)^2 = 0 \implies 3x-1=0 \implies x = \frac{1}{3}$. Это корень четной кратности (кратность 2), так как скобка возведена в квадрат. При переходе через эту точку знак функции меняться не будет.
• $2x+3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
• $5-x = 0 \implies x=5$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x=-1.5$, $x=\frac{1}{3}$ и $x=5$ будут "закрашенными", то есть войдут в решение.

3. Применим метод интервалов

Отметим на числовой оси все найденные точки в порядке возрастания: $-1.5, 0, \frac{1}{3}, 1, 5$.

Определим знак выражения $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=10$:

$f(10) = \frac{(3 \cdot 10-1)^2(2 \cdot 10+3)(5-10)}{10(10-1)} = \frac{(+)^2(+)(-)}{(+)(+)} = \frac{-}{+} = (-)$

Таким образом, в интервале $(5, +\infty)$ функция имеет знак "минус".

Двигаясь справа налево по числовой оси, будем изменять знак при переходе через корни нечетной кратности ($5, 1, 0, -1.5$) и сохранять знак при переходе через корень четной кратности ($\frac{1}{3}$).

Знаки на интервалах распределятся следующим образом:

• $(-\infty; -1.5)$: знак "−"
• $(-1.5; 0)$: знак "+"
• $(0; \frac{1}{3})$: знак "−"
• $(\frac{1}{3}; 1)$: знак "−"
• $(1; 5)$: знак "+"
• $(5; +\infty)$: знак "−"

4. Выбор решения

Нам нужны значения $x$, при которых $f(x) \ge 0$. Это промежутки, где функция положительна, а также точки, в которых она равна нулю.

• Функция положительна (знак "+") на интервалах $(-1.5, 0)$ и $(1, 5)$.
• Функция равна нулю в точках $x=-1.5$, $x=\frac{1}{3}$ и $x=5$.

Объединяем полученные результаты. Включаем концы интервалов, где функция равна нулю ($-1.5$ и $5$) и исключаем точки, где она не определена ($0$ и $1$). Также добавляем изолированную точку $x=\frac{1}{3}$, в которой функция равна нулю.

Итоговое решение: $x \in [-1.5, 0) \cup \{\frac{1}{3}\} \cup (1, 5]$.

Ответ: $x \in [-1.5, 0) \cup \{\frac{1}{3}\} \cup (1, 5]$.