Номер 10, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Вариант 1. Домашняя контрольная работа № 1. Глава 1. Рациональные неравенства и их системы. ч. 2 - номер 10, страница 25.

10 Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

$$\begin{cases} \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x, \\ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}. \end{cases}$$

Для того чтобы найти все целые числа, удовлетворяющие системе, необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства $\frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x$

Для избавления от дробей умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4. Знак неравенства не меняется, так как 4 – положительное число.

$4 \cdot \left(\frac{2x - 11}{4}\right) + 4 \cdot \left(\frac{19 - 2x}{2}\right) < 4 \cdot (2x)$

$(2x - 11) + 2(19 - 2x) < 8x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x - 11 + 38 - 4x < 8x$

$-2x + 27 < 8x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть:

$27 < 8x + 2x$

$27 < 10x$

Отсюда находим $x$:

$x > \frac{27}{10}$ или $x > 2.7$

Решение второго неравенства $\frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}$

Сначала преобразуем правую часть: $\frac{2x + 15}{9} > \frac{x-1}{5} + \frac{x}{3}$.

Теперь умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 9, 5 и 3, равное 45. Знак неравенства не изменится.

$45 \cdot \left(\frac{2x + 15}{9}\right) > 45 \cdot \left(\frac{x - 1}{5}\right) + 45 \cdot \left(\frac{x}{3}\right)$

$5(2x + 15) > 9(x - 1) + 15x$

Раскроем скобки:

$10x + 75 > 9x - 9 + 15x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$10x + 75 > 24x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а константы — в левую:

$75 + 9 > 24x - 10x$

$84 > 14x$

Отсюда находим $x$:

$x < \frac{84}{14}$ или $x < 6$

Нахождение целых решений системы

Мы получили, что решение исходной системы должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x > 2.7$ и $x < 6$.

Запишем это в виде двойного неравенства: $2.7 < x < 6$.

Искомые целые числа — это целые значения $x$, которые лежат в интервале $(2.7; 6)$.

Такими числами являются 3, 4, 5.

Ответ: 3, 4, 5.