Номер 3, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3 Для множеств $A = [1; 5)$, $B = [4; 6]$ и $C = (-3; 2]$ найдите множество $(A \cup B) \cap C$.

Для решения данной задачи необходимо последовательно выполнить операции объединения и пересечения множеств. Исходные данные: $A = [1; 5]$, $B = [4; 6]$, $C = (-3; 2]$.

1. Найдем объединение множеств $A \cup B$

Операция объединения ($A \cup B$) создает новое множество, которое содержит все элементы, принадлежащие множеству $A$, или множеству $B$, или обоим сразу. Множество $A$ представляет собой числовой отрезок от 1 до 5 включительно. Множество $B$ — отрезок от 4 до 6 включительно. Поскольку эти два отрезка пересекаются (их общая часть — $[4; 5]$), их объединением будет единый отрезок, начинающийся с наименьшей границы (1) и заканчивающийся наибольшей границей (6).

$A \cup B = [1; 5] \cup [4; 6] = [1; 6]$

2. Найдем пересечение множеств $(A \cup B)$ и $C$

Теперь необходимо найти пересечение ($(A \cup B) \cap C$) полученного множества $[1; 6]$ и множества $C = (-3; 2]$. Операция пересечения находит все элементы, которые являются общими для обоих множеств.

Мы ищем общие точки для числовых промежутков $[1; 6]$ и $(-3; 2]$.

Для нахождения пересечения нужно взять наибольшую из левых границ и наименьшую из правых.
Левые границы: 1 (включительно) и -3 (не включительно). Наибольшая из них — 1.
Правые границы: 6 (включительно) и 2 (включительно). Наименьшая из них — 2.

Таким образом, пересечением является промежуток от 1 до 2. Поскольку число 1 принадлежит обоим множествам ($1 \in [1; 6]$ и $1 \in (-3; 2]$), и число 2 также принадлежит обоим множествам ($2 \in [1; 6]$ и $2 \in (-3; 2]$), то обе границы включаются в итоговый отрезок.

$(A \cup B) \cap C = [1; 6] \cap (-3; 2] = [1; 2]$

Ответ: $[1; 2]$