Номер 4.39, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.39 Укажите все значения параметра $p$, при которых решением системы неравенств $\begin{cases} x > 3, \\ x > p \end{cases}$ является промежуток:

а) $(5; +\infty)$; б) $[3; +\infty)$; в) $(3; +\infty)$; г) $[2; +\infty)$.

Для решения задачи проанализируем систему неравенств:

$$ \begin{cases} x > 3, \\ x > p \end{cases} $$

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Первое неравенство $x > 3$ задает промежуток $(3; +\infty)$. Второе неравенство $x > p$ задает промежуток $(p; +\infty)$. Таким образом, решение системы — это пересечение этих двух промежутков: $(3; +\infty) \cap (p; +\infty)$.

Результат пересечения зависит от взаимного расположения чисел 3 и $p$ на числовой оси:

• Если $p > 3$, то пересечением будет промежуток $(p; +\infty)$, так как любое число, большее $p$, будет также больше 3.
• Если $p = 3$, то оба неравенства одинаковы ($x > 3$), и решением является промежуток $(3; +\infty)$.
• Если $p < 3$, то пересечением будет промежуток $(3; +\infty)$, так как любое число, большее 3, будет также больше $p$.

Объединяя второй и третий случаи, получаем, что при $p \le 3$ решением системы является промежуток $(3; +\infty)$.

Теперь найдем значения параметра $p$ для каждого из предложенных случаев.

а) Решением является промежуток $(5; +\infty)$.

Такой вид решения $(p; +\infty)$ система имеет при $p > 3$. Чтобы решением был промежуток $(5; +\infty)$, необходимо, чтобы $p$ было равно 5. Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $p > 3$. Действительно, $5 > 3$. Случай $p \le 3$ дает решение $(3; +\infty)$, что не подходит.

Ответ: $p=5$.

б) Решением является промежуток $[3; +\infty)$.

Решение системы должно удовлетворять первому неравенству $x > 3$. Это означает, что любое решение должно быть строго больше 3. Промежуток $[3; +\infty)$ содержит число 3, которое не удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, ни при каком значении параметра $p$ данный промежуток не может быть решением системы.

Ответ: таких значений $p$ не существует.

в) Решением является промежуток $(3; +\infty)$.

Как было показано в предварительном анализе, система имеет такое решение, если выполняется условие $p \le 3$. При любом значении $p$, не превосходящем 3, пересечение промежутков $(3; +\infty)$ и $(p; +\infty)$ будет равно $(3; +\infty)$.

Ответ: $p \in (-\infty; 3]$.

г) Решением является промежуток $[2; +\infty)$.

Любое решение системы должно удовлетворять неравенству $x > 3$. Однако промежуток $[2; +\infty)$ содержит числа, которые не больше 3 (например, 2, 2.5, 3). Таким образом, множество решений системы не может совпадать с промежутком $[2; +\infty)$.

Ответ: таких значений $p$ не существует.