Номер 8, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Решите систему неравенств

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 7 > 0, \\ \frac{3x - 4}{2x + 6} \le 1. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x - 7 > 0$.

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Значения функции положительны, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3.5) \cup (1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{3x - 4}{2x + 6} \le 1$.

Это дробно-рациональное неравенство. Перенесем 1 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{3x - 4}{2x + 6} - 1 \le 0$

$\frac{3x - 4 - (2x + 6)}{2x + 6} \le 0$

$\frac{x - 10}{2x + 6} \le 0$

Воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$. Эта точка не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки $-3$ и $10$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них. Нам нужен интервал, где дробь меньше или равна нулю. Это происходит, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, или когда числитель равен нулю.

Выражение $\frac{x - 10}{2x + 6}$ отрицательно на интервале $(-3; 10)$ и равно нулю при $x=10$.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-3; 10]$.

Теперь найдем решение системы, для чего найдем пересечение полученных решений:

Решение 1: $x \in (-\infty; -3.5) \cup (1; +\infty)$

Решение 2: $x \in (-3; 10]$

Пересечением этих двух множеств является интервал $(1; 10]$.

Ответ: $(1; 10]$.