Номер 10, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10 Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

$\begin{cases}\frac{x-1}{2} - \frac{2x+3}{3} + \frac{x}{6} < 2 - \frac{x+5}{2}, \\1 - \frac{x+5}{8} + \frac{4-x}{2} < 3x - \frac{x+1}{4}.\end{cases}$

Для того чтобы найти все целые числа, удовлетворяющие системе, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство системы:

$\frac{x - 1}{2} - \frac{2x + 3}{3} + \frac{x}{6} < 2 - \frac{x + 5}{2}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 6, которое равно 6:

$6 \cdot \frac{x - 1}{2} - 6 \cdot \frac{2x + 3}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} < 6 \cdot 2 - 6 \cdot \frac{x + 5}{2}$

$3(x - 1) - 2(2x + 3) + x < 12 - 3(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3x - 3 - 4x - 6 + x < 12 - 3x - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - 4x + x) + (-3 - 6) < -3x + (12 - 15)$

$0 \cdot x - 9 < -3x - 3$

$-9 < -3x - 3$

Перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x < 9 - 3$

$3x < 6$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x < 2$

Решением первого неравенства является интервал $(-\infty; 2)$.

2. Решим второе неравенство системы:

$1 - \frac{x + 5}{8} + \frac{4 - x}{2} < 3x - \frac{x + 1}{4}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 8, 2 и 4, которое равно 8:

$8 \cdot 1 - 8 \cdot \frac{x + 5}{8} + 8 \cdot \frac{4 - x}{2} < 8 \cdot 3x - 8 \cdot \frac{x + 1}{4}$

$8 - (x + 5) + 4(4 - x) < 24x - 2(x + 1)$

Раскроем скобки:

$8 - x - 5 + 16 - 4x < 24x - 2x - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-x - 4x) + (8 - 5 + 16) < (24x - 2x) - 2$

$-5x + 19 < 22x - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$19 + 2 < 22x + 5x$

$21 < 27x$

Разделим обе части на 27 и запишем неравенство в привычном виде:

$x > \frac{21}{27}$

Сократим дробь:

$x > \frac{7}{9}$

Решением второго неравенства является интервал $(\frac{7}{9}; +\infty)$.

3. Найдем целые решения системы:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} x < 2 \\ x > \frac{7}{9} \end{array} \right.$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $\frac{7}{9} < x < 2$.

Нам нужно найти все целые числа ($x \in \mathbb{Z}$), которые находятся в интервале $(\frac{7}{9}, 2)$.

Поскольку $\frac{7}{9} \approx 0.78$, единственное целое число, которое больше $\frac{7}{9}$ и меньше 2, это 1.

Ответ: 1