Номер 5.7, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.7 Найдите координаты центра и радиус окружности:

а) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$;

б) $(x + 5)^2 + (y + 7)^2 = 1$;

в) $(x - 10)^2 + (y + 1)^2 = 16$;

г) $(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 144.

Постройте график уравнения:

Для нахождения координат центра и радиуса окружности воспользуемся её каноническим уравнением:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $r$ — её радиус. Мы будем сравнивать каждое из данных уравнений с этой общей формулой.

а) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Сравниваем данное уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Член $(x + 1)^2$ можно представить в виде $(x - (-1))^2$, отсюда следует, что координата центра по оси абсцисс $x_0 = -1$.

Член $(y - 3)^2$ соответствует $(y - y_0)^2$, следовательно, координата центра по оси ординат $y_0 = 3$.

Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(-1, 3)$.

Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $r^2 = 25$.

Радиус $r$ равен положительному квадратному корню из $25$, то есть $r = \sqrt{25} = 5$.

Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке $O(-1, 3)$ и радиусом $5$.

Ответ: центр $(-1, 3)$, радиус $r=5$.

б) $(x + 5)^2 + (y + 7)^2 = 1$

Сравниваем с каноническим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Из $(x + 5)^2 = (x - (-5))^2$ следует, что $x_0 = -5$.

Из $(y + 7)^2 = (y - (-7))^2$ следует, что $y_0 = -7$.

Следовательно, центр окружности находится в точке $(-5, -7)$.

Из правой части уравнения $r^2 = 1$ находим радиус: $r = \sqrt{1} = 1$.

Графиком является окружность с центром в точке $O(-5, -7)$ и радиусом $1$.

Ответ: центр $(-5, -7)$, радиус $r=1$.

в) $(x - 10)^2 + (y + 1)^2 = 16$

Сравниваем с каноническим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Из $(x - 10)^2$ следует, что $x_0 = 10$.

Из $(y + 1)^2 = (y - (-1))^2$ следует, что $y_0 = -1$.

Таким образом, центр окружности находится в точке $(10, -1)$.

Из правой части уравнения $r^2 = 16$ находим радиус: $r = \sqrt{16} = 4$.

Графиком является окружность с центром в точке $O(10, -1)$ и радиусом $4$.

Ответ: центр $(10, -1)$, радиус $r=4$.

г) $(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 144$

Сравниваем с каноническим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Из $(x - 4)^2$ следует, что $x_0 = 4$.

Из $(y - 5)^2$ следует, что $y_0 = 5$.

Следовательно, центр окружности находится в точке $(4, 5)$.

Из правой части уравнения $r^2 = 144$ находим радиус: $r = \sqrt{144} = 12$.

Графиком является окружность с центром в точке $O(4, 5)$ и радиусом $12$.

Ответ: центр $(4, 5)$, радиус $r=12$.