Страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите систему неравенств:

4.21 a)

$$\begin{cases} 7x + 3 \geq 5(x - 4) + 1, \\ 4x + 1 \leq 43 - 3(7 + x); \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3(x + 8) \geq 4(7 - x), \\ (x + 2)(x - 5) > (x + 3)(x - 4); \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 5(x + 1) - x > 2x + 2, \\ 4(x + 1) - 2 \leq 2(2x + 1) - x; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} (x + 2)(x - 6) \leq (x + 2)(x + 1) + 4, \\ 2(6x - 1) \geq 7(2x - 4). \end{cases}$$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1 \\ 4x + 1 \le 43 - 3(7 + x) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1$

$7x + 3 \ge 5x - 20 + 1$

$7x + 3 \ge 5x - 19$

$7x - 5x \ge -19 - 3$

$2x \ge -22$

$x \ge -11$

2. Решим второе неравенство:

$4x + 1 \le 43 - 3(7 + x)$

$4x + 1 \le 43 - 21 - 3x$

$4x + 1 \le 22 - 3x$

$4x + 3x \le 22 - 1$

$7x \le 21$

$x \le 3$

3. Найдем пересечение полученных решений $x \ge -11$ и $x \le 3$.

Решением системы является числовой промежуток $[-11, 3]$.

Ответ: $x \in [-11, 3]$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3(x + 8) \ge 4(7 - x) \\ (x + 2)(x - 5) > (x + 3)(x - 4) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3(x + 8) \ge 4(7 - x)$

$3x + 24 \ge 28 - 4x$

$3x + 4x \ge 28 - 24$

$7x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{7}$

2. Решим второе неравенство:

$(x + 2)(x - 5) > (x + 3)(x - 4)$

$x^2 - 5x + 2x - 10 > x^2 - 4x + 3x - 12$

$x^2 - 3x - 10 > x^2 - x - 12$

$-3x - 10 > -x - 12$

$-3x + x > -12 + 10$

$-2x > -2$

$x < 1$

3. Найдем пересечение полученных решений $x \ge \frac{4}{7}$ и $x < 1$.

Решением системы является числовой промежуток $[\frac{4}{7}, 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{7}, 1)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5(x + 1) - x > 2x + 2 \\ 4(x + 1) - 2 \le 2(2x + 1) - x \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$5(x + 1) - x > 2x + 2$

$5x + 5 - x > 2x + 2$

$4x + 5 > 2x + 2$

$4x - 2x > 2 - 5$

$2x > -3$

$x > -1.5$

2. Решим второе неравенство:

$4(x + 1) - 2 \le 2(2x + 1) - x$

$4x + 4 - 2 \le 4x + 2 - x$

$4x + 2 \le 3x + 2$

$4x - 3x \le 2 - 2$

$x \le 0$

3. Найдем пересечение полученных решений $x > -1.5$ и $x \le 0$.

Решением системы является числовой промежуток $(-1.5, 0]$.

Ответ: $x \in (-1.5, 0]$.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} (x + 2)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4 \\ 2(6x - 1) \ge 7(2x - 4) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$(x + 2)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4$

$x^2 - 6x + 2x - 12 \le x^2 + x + 2x + 2 + 4$

$x^2 - 4x - 12 \le x^2 + 3x + 6$

$-4x - 3x \le 6 + 12$

$-7x \le 18$

$x \ge -\frac{18}{7}$

$x \ge -2\frac{4}{7}$

2. Решим второе неравенство:

$2(6x - 1) \ge 7(2x - 4)$

$12x - 2 \ge 14x - 28$

$28 - 2 \ge 14x - 12x$

$26 \ge 2x$

$13 \ge x$ или $x \le 13$

3. Найдем пересечение полученных решений $x \ge -2\frac{4}{7}$ и $x \le 13$.

Решением системы является числовой промежуток $[-2\frac{4}{7}, 13]$.

Ответ: $x \in [-2\frac{4}{7}, 13]$.

4.22 a) $\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7, \\1 - \frac{x}{6} > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x - \frac{x}{4} \ge 2, \\\frac{x-1}{2} + \frac{x-2}{3} > 1;\end{cases}$

В) $\begin{cases}1 - \frac{x}{4} > x, \\x - \frac{x-4}{5} > 1;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}x - \frac{x-1}{2} > 1, \\\frac{x}{3} < 5.\end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7, \\ 1 - \frac{x}{6} > 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} < 7$
$\frac{7x}{12} < 7$
Умножим обе части на 12:
$7x < 84$
Разделим обе части на 7:
$x < 12$

2. Решим второе неравенство: $1 - \frac{x}{6} > 0$.
Перенесем $\frac{x}{6}$ в правую часть:
$1 > \frac{x}{6}$
Умножим обе части на 6:
$6 > x$, что равносильно $x < 6$.

3. Найдем пересечение решений $x < 12$ и $x < 6$.
На числовой оси отметим оба интервала. Общей частью будет интервал, где выполняются оба условия, то есть $x < 6$.

Ответ: $(-\infty; 6)$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - \frac{x}{4} \geq 2, \\ \frac{x-1}{2} + \frac{x-2}{3} > 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x - \frac{x}{4} \geq 2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{4x - x}{4} \geq 2$
$\frac{3x}{4} \geq 2$
Умножим обе части на 4:
$3x \geq 8$
Разделим обе части на 3:
$x \geq \frac{8}{3}$

2. Решим второе неравенство: $\frac{x-1}{2} + \frac{x-2}{3} > 1$.
Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$3(x-1) + 2(x-2) > 6$
$3x - 3 + 2x - 4 > 6$
$5x - 7 > 6$
$5x > 13$
$x > \frac{13}{5}$

3. Найдем пересечение решений $x \geq \frac{8}{3}$ и $x > \frac{13}{5}$.
Сравним дроби: $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ и $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$.
Поскольку $2\frac{2}{3} \approx 2.67$, то $\frac{8}{3} > \frac{13}{5}$.
Следовательно, пересечением множеств $x \geq \frac{8}{3}$ и $x > \frac{13}{5}$ является $x \geq \frac{8}{3}$.

Ответ: $[\frac{8}{3}; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - \frac{x}{4} > x, \\ x - \frac{x-4}{5} > 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $1 - \frac{x}{4} > x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:
$1 > x + \frac{x}{4}$
$1 > \frac{4x+x}{4}$
$1 > \frac{5x}{4}$
Умножим обе части на 4:
$4 > 5x$
Разделим на 5: $\frac{4}{5} > x$, что равносильно $x < \frac{4}{5}$.

2. Решим второе неравенство: $x - \frac{x-4}{5} > 1$.
Умножим обе части на 5:
$5x - (x-4) > 5$
$5x - x + 4 > 5$
$4x + 4 > 5$
$4x > 1$
$x > \frac{1}{4}$

3. Найдем пересечение решений $x < \frac{4}{5}$ и $x > \frac{1}{4}$.
Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $\frac{1}{4} < x < \frac{4}{5}$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{4}{5})$.

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - \frac{x-1}{2} > 1, \\ \frac{x}{3} < 5. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x - \frac{x-1}{2} > 1$.
Умножим обе части на 2:
$2x - (x-1) > 2$
$2x - x + 1 > 2$
$x + 1 > 2$
$x > 1$

2. Решим второе неравенство: $\frac{x}{3} < 5$.
Умножим обе части на 3:
$x < 15$

3. Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x < 15$.
Решением системы является интервал, где выполняются оба неравенства, то есть $1 < x < 15$.

Ответ: $(1; 15)$.

4.23 a) $ \begin{cases} \frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - x, \\ 1 - x > 0,5x - 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{2x-1}{6} + \frac{x+2}{3} - \frac{x-8}{2} > x-1, \\ 2 - 2x > 0,5 + 0,5x; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} \frac{5x+7}{6} - \frac{3x}{4} < \frac{11x-7}{12}, \\ \frac{1-3x}{2} - \frac{1-4x}{3} \ge \frac{x}{6} - 1; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} \frac{8x+1}{3} > \frac{4x+9}{2} - \frac{x-1}{3}, \\ \frac{5x-2}{3} < \frac{2x+13}{2} - \frac{x+2}{3}. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \ge \frac{x - 3}{4} - x \\ 1 - x > 0.5x - 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \ge \frac{x - 3}{4} - x $.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 12:
$ 12 \cdot \frac{x - 1}{2} - 12 \cdot \frac{x - 2}{3} \ge 12 \cdot \frac{x - 3}{4} - 12 \cdot x $
$ 6(x - 1) - 4(x - 2) \ge 3(x - 3) - 12x $
Раскроем скобки:
$ 6x - 6 - 4x + 8 \ge 3x - 9 - 12x $
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$ 2x + 2 \ge -9x - 9 $
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$ 2x + 9x \ge -9 - 2 $
$ 11x \ge -11 $
Разделим обе части на 11:
$ x \ge -1 $.

2. Решим второе неравенство: $ 1 - x > 0.5x - 4 $.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$ 1 + 4 > 0.5x + x $
$ 5 > 1.5x $
Разделим обе части на 1.5:
$ x < \frac{5}{1.5} $
$ x < \frac{5}{3/2} $
$ x < \frac{10}{3} $.

3. Найдем пересечение решений.
Решение первого неравенства: $ x \in [-1, +\infty) $.
Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, \frac{10}{3}) $.
Пересечением этих множеств является интервал $ [-1, \frac{10}{3}) $.
Ответ: $ [-1, \frac{10}{3}) $.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} > x - 1 \\ 2 - 2x > 0.5 + 0.5x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} > x - 1 $.
Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$ (2x - 1) + 2(x + 2) - 3(x - 8) > 6(x - 1) $
Раскроем скобки:
$ 2x - 1 + 2x + 4 - 3x + 24 > 6x - 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x + 27 > 6x - 6 $
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$ 27 + 6 > 6x - x $
$ 33 > 5x $
$ x < \frac{33}{5} $.

2. Решим второе неравенство: $ 2 - 2x > 0.5 + 0.5x $.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$ 2 - 0.5 > 0.5x + 2x $
$ 1.5 > 2.5x $
$ x < \frac{1.5}{2.5} $
$ x < \frac{15}{25} $
$ x < \frac{3}{5} $.

3. Найдем пересечение решений.
Мы имеем $ x < \frac{33}{5} $ и $ x < \frac{3}{5} $.
Так как $ \frac{3}{5} < \frac{33}{5} $, то пересечением этих условий является $ x < \frac{3}{5} $.
Ответ: $ (-\infty, \frac{3}{5}) $.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{5x + 7}{6} - \frac{3x}{4} < \frac{11x - 7}{12} \\ \frac{1 - 3x}{2} - \frac{1 - 4x}{3} \ge \frac{x}{6} - 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{5x + 7}{6} - \frac{3x}{4} < \frac{11x - 7}{12} $.
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
$ 2(5x + 7) - 3(3x) < 11x - 7 $
Раскроем скобки:
$ 10x + 14 - 9x < 11x - 7 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x + 14 < 11x - 7 $
$ 14 + 7 < 11x - x $
$ 21 < 10x $
$ x > 2.1 $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{1 - 3x}{2} - \frac{1 - 4x}{3} \ge \frac{x}{6} - 1 $.
Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$ 3(1 - 3x) - 2(1 - 4x) \ge x - 6 $
Раскроем скобки:
$ 3 - 9x - 2 + 8x \ge x - 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 1 - x \ge x - 6 $
$ 1 + 6 \ge x + x $
$ 7 \ge 2x $
$ x \le 3.5 $.

3. Найдем пересечение решений.
Мы получили $ x > 2.1 $ и $ x \le 3.5 $.
Объединяя эти условия, получаем полуинтервал $ (2.1, 3.5] $.
Ответ: $ (2.1, 3.5] $.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{8x + 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} - \frac{x - 1}{3} \\ \frac{5x - 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} - \frac{x + 2}{3} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{8x + 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} - \frac{x - 1}{3} $.
Перенесем слагаемое $ - \frac{x - 1}{3} $ в левую часть:
$ \frac{8x + 1}{3} + \frac{x - 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} $
$ \frac{8x + 1 + x - 1}{3} > \frac{4x + 9}{2} $
$ \frac{9x}{3} > \frac{4x + 9}{2} $
$ 3x > \frac{4x + 9}{2} $
Умножим обе части на 2:
$ 6x > 4x + 9 $
$ 2x > 9 $
$ x > 4.5 $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{5x - 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} - \frac{x + 2}{3} $.
Перенесем слагаемое $ - \frac{x + 2}{3} $ в левую часть:
$ \frac{5x - 2}{3} + \frac{x + 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} $
$ \frac{5x - 2 + x + 2}{3} < \frac{2x + 13}{2} $
$ \frac{6x}{3} < \frac{2x + 13}{2} $
$ 2x < \frac{2x + 13}{2} $
Умножим обе части на 2:
$ 4x < 2x + 13 $
$ 2x < 13 $
$ x < 6.5 $.

3. Найдем пересечение решений.
Мы получили $ x > 4.5 $ и $ x < 6.5 $.
Объединяя эти условия, получаем интервал $ (4.5, 6.5) $.
Ответ: $ (4.5, 6.5) $.

4.24 a) $\frac{2x + 1}{x - 2} < 1,$

$\frac{3x + 2}{2x - 3} > 2;$

б) $\frac{7 - 3x}{2 - 5x} \leq 2,$

$\frac{2x + 1}{3x - 3} > 4;$

в) $\frac{3x - 2}{3 - x} < 2,$

$ \frac{5x + 1}{4x - 5} > 3;$

г) $\frac{x + 3}{3x - 1} \leq 1,$

$\frac{2x + 5}{x - 4} \geq 2.$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x + 1}{x - 2} < 1, \\ \frac{3x + 2}{2x - 3} > 2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2x + 1}{x - 2} < 1$

$\frac{2x + 1}{x - 2} - 1 < 0$

$\frac{2x + 1 - (x - 2)}{x - 2} < 0$

$\frac{x + 3}{x - 2} < 0$

Применяя метод интервалов, находим, что нули числителя и знаменателя $x = -3$ и $x = 2$ разбивают числовую прямую на три интервала. Неравенство выполняется на интервале $(-3, 2)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{3x + 2}{2x - 3} > 2$

$\frac{3x + 2}{2x - 3} - 2 > 0$

$\frac{3x + 2 - 2(2x - 3)}{2x - 3} > 0$

$\frac{3x + 2 - 4x + 6}{2x - 3} > 0$

$\frac{-x + 8}{2x - 3} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x - 8}{2x - 3} < 0$

Нули числителя и знаменателя $x = 8$ и $x = \frac{3}{2}$. Неравенство выполняется на интервале $(\frac{3}{2}, 8)$.

3. Найдем пересечение полученных решений:

$(-3, 2) \cap (\frac{3}{2}, 8)$

Пересечением является интервал $(\frac{3}{2}, 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}, 2)$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{7 - 3x}{2 - 5x} \le 2, \\ \frac{2x + 1}{3x - 3} > 4 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{7 - 3x}{2 - 5x} \le 2$

$\frac{7 - 3x}{2 - 5x} - 2 \le 0$

$\frac{7 - 3x - 2(2 - 5x)}{2 - 5x} \le 0$

$\frac{7 - 3x - 4 + 10x}{2 - 5x} \le 0$

$\frac{7x + 3}{2 - 5x} \le 0$

Это неравенство эквивалентно $\frac{7x + 3}{5x - 2} \ge 0$ (при умножении знаменателя на -1 знак неравенства меняется). Нули числителя и знаменателя $x = -\frac{3}{7}$ и $x = \frac{2}{5}$. Решение: $x \in (-\infty, -\frac{3}{7}] \cup (\frac{2}{5}, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{2x + 1}{3x - 3} > 4$

$\frac{2x + 1}{3(x - 1)} - 4 > 0$

$\frac{2x + 1 - 12(x - 1)}{3(x - 1)} > 0$

$\frac{2x + 1 - 12x + 12}{3(x - 1)} > 0$

$\frac{-10x + 13}{3(x - 1)} > 0$

$\frac{10x - 13}{x - 1} < 0$

Нули числителя и знаменателя $x = \frac{13}{10}$ и $x = 1$. Решение: $x \in (1, \frac{13}{10})$.

3. Найдем пересечение решений:

$\left( (-\infty, -\frac{3}{7}] \cup (\frac{2}{5}, +\infty) \right) \cap (1, \frac{13}{10})$

Поскольку $1 > \frac{2}{5}$ и $\frac{13}{10} > \frac{2}{5}$, интервал $(1, \frac{13}{10})$ полностью содержится в $(\frac{2}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, \frac{13}{10})$.

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{3x - 2}{3 - x} < 2, \\ \frac{5x + 1}{4x - 5} > 3 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{3x - 2}{3 - x} < 2$

$\frac{3x - 2 - 2(3 - x)}{3 - x} < 0$

$\frac{3x - 2 - 6 + 2x}{3 - x} < 0$

$\frac{5x - 8}{3 - x} < 0$

$\frac{5x - 8}{x - 3} > 0$

Нули числителя и знаменателя $x = \frac{8}{5}$ и $x = 3$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{8}{5}) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{5x + 1}{4x - 5} > 3$

$\frac{5x + 1 - 3(4x - 5)}{4x - 5} > 0$

$\frac{5x + 1 - 12x + 15}{4x - 5} > 0$

$\frac{-7x + 16}{4x - 5} > 0$

$\frac{7x - 16}{4x - 5} < 0$

Нули числителя и знаменателя $x = \frac{16}{7}$ и $x = \frac{5}{4}$. Решение: $x \in (\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$.

3. Найдем пересечение решений:

$\left( (-\infty, \frac{8}{5}) \cup (3, +\infty) \right) \cap (\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$

Сравним дроби: $\frac{5}{4} = 1.25$, $\frac{8}{5} = 1.6$, $\frac{16}{7} \approx 2.28$.

Интервал $(\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$ не пересекается с $(3, +\infty)$.

Найдем пересечение $(-\infty, \frac{8}{5}) \cap (\frac{5}{4}, \frac{16}{7})$. Так как $\frac{5}{4} < \frac{8}{5} < \frac{16}{7}$, пересечением будет интервал $(\frac{5}{4}, \frac{8}{5})$.

Ответ: $x \in (\frac{5}{4}, \frac{8}{5})$.

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x + 3}{3x - 1} \le 1, \\ \frac{2x + 5}{x - 4} \ge 2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x + 3}{3x - 1} \le 1$

$\frac{x + 3 - (3x - 1)}{3x - 1} \le 0$

$\frac{-2x + 4}{3x - 1} \le 0$

$\frac{-2(x - 2)}{3x - 1} \le 0$

$\frac{x - 2}{3x - 1} \ge 0$

Нули числителя и знаменателя $x = 2$ и $x = \frac{1}{3}$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup [2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{2x + 5}{x - 4} \ge 2$

$\frac{2x + 5 - 2(x - 4)}{x - 4} \ge 0$

$\frac{2x + 5 - 2x + 8}{x - 4} \ge 0$

$\frac{13}{x - 4} \ge 0$

Поскольку числитель $13 > 0$, неравенство выполняется, когда знаменатель строго больше нуля: $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$. Решение: $x \in (4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений:

$\left( (-\infty, \frac{1}{3}) \cup [2, +\infty) \right) \cap (4, +\infty)$

Интервал $(4, +\infty)$ является подмножеством интервала $[2, +\infty)$.

Следовательно, пересечением является сам интервал $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.