Страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3.4 Верно ли, что:

а) $-5 \in N$;

б) $-5 \in Z$;

в) $\sqrt{2} \in Q$;

г) $2,(45) \in Q?$

а) Утверждение $-5 \in \mathbb{N}$ неверно.

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $-5$ является отрицательным целым числом и не входит в это множество.

Ответ: неверно.

б) Утверждение $-5 \in \mathbb{Z}$ верно.

Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Число $-5$ является целым отрицательным числом, следовательно, оно принадлежит множеству $\mathbb{Z}$.

Ответ: верно.

в) Утверждение $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ неверно.

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ — это множество чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Число $\sqrt{2}$ является иррациональным числом. Это означает, что его нельзя представить в виде такой дроби. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью ($1.41421356...$). Следовательно, $\sqrt{2}$ не принадлежит множеству рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Ответ: неверно.

г) Утверждение $2,(45) \in \mathbb{Q}$ верно.

Число $2,(45)$ — это периодическая десятичная дробь, где число 45 является периодом: $2,454545...$. Любая периодическая дробь является рациональным числом, так как ее можно представить в виде обыкновенной дроби. Преобразуем $2,(45)$ в дробь, чтобы это доказать.

Пусть $x = 2,(45)$.
Умножим обе части уравнения на 100, так как в периоде две цифры: $100x = 245,(45)$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 245,(45) - 2,(45)$
$99x = 243$
$x = \frac{243}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{27}{11}$
Так как число $2,(45)$ можно представить в виде дроби $\frac{27}{11}$, оно является рациональным числом и принадлежит множеству $\mathbb{Q}$.

Ответ: верно.

3.5 Докажите, что заданное множество состоит из одного числа (элемента), и найдите это число:

а) $ \{x \mid x^2 \le 0\} $;

б) $ \{x \mid x^2 + 18x \le -81\} $;

в) $ \{x \mid 41\sqrt{x} \le 0\} $;

г) $ \{x \mid x^2 + 16 \le 8x\} $.

а) Рассматривается множество, заданное условием $x^2 \le 0$.

Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Таким образом, неравенство $x^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае — когда обе части равны, то есть $x^2 = 0$.

Уравнение $x^2 = 0$ имеет единственное решение $x=0$.

Следовательно, данное множество состоит из одного элемента, числа 0. Это доказывает, что множество состоит из одного элемента, и этот элемент найден.

Ответ: 0

б) Рассматривается множество, заданное условием $x^2 + 18x \le -81$.

Для решения перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$x^2 + 18x + 81 \le 0$

Выражение в левой части представляет собой формулу квадрата суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = (x+9)^2$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $(x+9)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного выражения, в данном случае $(x+9)^2$, всегда неотрицателен, то есть $(x+9)^2 \ge 0$.

Следовательно, неравенство $(x+9)^2 \le 0$ справедливо только тогда, когда $(x+9)^2 = 0$.

Решая уравнение $x+9=0$, получаем единственное решение $x = -9$.

Это доказывает, что множество состоит из одного элемента — числа -9.

Ответ: -9

в) Рассматривается множество, заданное условием $41\sqrt{x} \le 0$.

Прежде всего, учтем область допустимых значений для корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Разделим обе части неравенства $41\sqrt{x} \le 0$ на 41. Так как 41 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\sqrt{x} \le 0$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Одновременное выполнение условий $\sqrt{x} \le 0$ и $\sqrt{x} \ge 0$ возможно только в случае равенства: $\sqrt{x} = 0$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x=0$.

Данное значение удовлетворяет области допустимых значений. Таким образом, множество состоит из одного элемента — числа 0.

Ответ: 0

г) Рассматривается множество, заданное условием $x^2 + 16 \le 8x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$x^2 - 8x + 16 \le 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

Неравенство принимает вид $(x-4)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного выражения, $(x-4)^2$, всегда неотрицателен ($(x-4)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только при условии равенства нулю: $(x-4)^2 = 0$.

Решая уравнение $x-4=0$, находим единственное решение $x=4$.

Следовательно, множество состоит из одного элемента — числа 4.

Ответ: 4

3.6 Верно ли, что:

а) $0,7 \in \{x \mid x^2 - 1 < 0\}$;

б) $-7 \in \{x \mid x^2 + 16x \leq -64\}$;

в) $-0,999 \in \{x \mid \frac{5 - x}{1 + x} > 1\}$;

г) $1,001 \in \{x \mid \frac{x^2 - 6x + 5}{4 - x} \leq 0\}$?

Чтобы проверить, верно ли утверждение $0,7 \in \{x | x^2 - 1 < 0\}$, необходимо подставить значение $x = 0,7$ в неравенство, определяющее множество: $x^2 - 1 < 0$.
Подставляем: $(0,7)^2 - 1 = 0,49 - 1 = -0,51$.
Получаем неравенство $-0,51 < 0$, которое является верным.
Следовательно, число $0,7$ принадлежит данному множеству.
Ответ: Да.

Чтобы проверить, верно ли утверждение $-7 \in \{x | x^2 + 16x \le -64\}$, подставим $x = -7$ в неравенство.
$(-7)^2 + 16(-7) = 49 - 112 = -63$.
Получаем неравенство $-63 \le -64$, которое является неверным, так как $-63 > -64$.
Следовательно, число $-7$ не принадлежит данному множеству.
Ответ: Нет.

Чтобы проверить, верно ли утверждение $-0,999 \in \{x | |\frac{5-x}{1+x}| > 1\}$, подставим $x = -0,999$ в неравенство.
$|\frac{5 - (-0,999)}{1 + (-0,999)}| = |\frac{5 + 0,999}{1 - 0,999}| = |\frac{5,999}{0,001}| = |5999| = 5999$.
Получаем неравенство $5999 > 1$, которое является верным.
Следовательно, число $-0,999$ принадлежит данному множеству.
Ответ: Да.

Чтобы проверить, верно ли утверждение $1,001 \in \{x | \frac{x^2 - 6x + 5}{4 - x} \le 0\}$, подставим $x = 1,001$ в левую часть неравенства и определим её знак.
1. Определим знак числителя: $x^2 - 6x + 5$. Корнями уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=5$. График функции $y=x^2 - 6x + 5$ — это парабола с ветвями вверх. Поскольку $1 < 1,001 < 5$, значение выражения $x^2 - 6x + 5$ на этом интервале отрицательно.
2. Определим знак знаменателя: $4 - x$. При $x = 1,001$ получаем $4 - 1,001 = 2,999$, что является положительным числом.
3. Определим знак всей дроби. При делении отрицательного числителя на положительный знаменатель результат будет отрицательным: $\frac{...(-)}{...(+)}$, что меньше нуля.
Таким образом, неравенство $\frac{x^2 - 6x + 5}{4 - x} \le 0$ при $x = 1,001$ выполняется.
Следовательно, число $1,001$ принадлежит данному множеству.
Ответ: Да.

3.7 a) Решите уравнение $x(x^2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) - x^2$.

б) Запишите множество $M$ корней этого уравнения, перечислив его элементы в порядке возрастания.

в) Запишите все возможные способы перечисления элементов множества $M$.

г) Сколько всего имеется способов перечисления элементов множества $M$?

а)

Решим данное уравнение: $x(x^2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) - x^2$.

Сначала преобразуем обе части уравнения, раскрыв скобки.

Левая часть:

$x(x^2 + 19) + 6 = x \cdot x^2 + x \cdot 19 + 6 = x^3 + 19x + 6$.

Правая часть:

$(2x + 3)(3x + 2) - x^2 = (2x \cdot 3x + 2x \cdot 2 + 3 \cdot 3x + 3 \cdot 2) - x^2 = (6x^2 + 4x + 9x + 6) - x^2 = 6x^2 + 13x + 6 - x^2 = 5x^2 + 13x + 6$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$x^3 + 19x + 6 = 5x^2 + 13x + 6$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^3 - 5x^2 + 19x - 13x + 6 - 6 = 0$

$x^3 - 5x^2 + 6x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

$x_2 = 2$

$x_3 = 3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0, 2, 3$.

б)

Множество $M$ корней этого уравнения состоит из найденных в пункте а) чисел. То есть, $M = \{0, 2, 3\}$. Необходимо перечислить его элементы в порядке возрастания.

Ответ: 0, 2, 3.

в)

Нужно записать все возможные способы перечисления (упорядочивания) элементов множества $M = \{0, 2, 3\}$. Это задача на нахождение всех перестановок из трех элементов.

Ответ: (0, 2, 3); (0, 3, 2); (2, 0, 3); (2, 3, 0); (3, 0, 2); (3, 2, 0).

г)

Количество способов перечисления элементов множества равно числу перестановок его элементов. Для множества из $n$ различных элементов число перестановок вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем множестве $M$ содержится 3 элемента ($n=3$).

Число способов равно $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6.

3.8 Дано множество $-8,1; \sqrt{2}; \frac{17}{7}$. Перечислите все его подмножества, состоящие из двух чисел:

а) разного знака;

б) положительных;

в) рациональных;

г) среди которых есть иррациональное число.

Дано множество $M = \{-8,1; \sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$. Для решения задачи сначала проанализируем свойства каждого элемента этого множества.
Элемент $-8,1$ является отрицательным рациональным числом (так как $-8,1 = -\frac{81}{10}$).
Элемент $\sqrt{2}$ является положительным иррациональным числом.
Элемент $\frac{17}{7}$ является положительным рациональным числом.
Всего из трех элементов множества можно составить три подмножества, состоящих из двух чисел: $\{-8,1; \sqrt{2}\}$, $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$ и $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.
Рассмотрим каждое из условий задачи.

Требуется найти подмножества, состоящие из чисел разного знака, то есть одно число должно быть положительным, а другое — отрицательным. В исходном множестве есть одно отрицательное число ($-8,1$) и два положительных ($\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$). Таким образом, мы можем составить две пары, комбинируя отрицательное число с каждым из положительных:
1. Пара из $-8,1$ и $\sqrt{2}$, образующая подмножество $\{-8,1; \sqrt{2}\}$.
2. Пара из $-8,1$ и $\frac{17}{7}$, образующая подмножество $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{-8,1; \sqrt{2}\}$, $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.

Требуется найти подмножества, состоящие только из положительных чисел. В исходном множестве есть два положительных числа: $\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$. Из них можно составить только одно подмножество из двух элементов. Число $-8,1$ является отрицательным, поэтому оно не может входить в такое подмножество.
Единственная возможная пара — это $\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$, которая образует подмножество $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.

Требуется найти подмножества, состоящие только из рациональных чисел. В исходном множестве есть два рациональных числа: $-8,1$ и $\frac{17}{7}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным и не может входить в искомые подмножества. Из двух рациональных чисел можно составить только одну пару.
Эта пара состоит из $-8,1$ и $\frac{17}{7}$, образуя подмножество $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{-8,1; \frac{17}{7}\}$.

Требуется найти подмножества, в которых присутствует хотя бы одно иррациональное число. В исходном множестве единственное иррациональное число — это $\sqrt{2}$. Следовательно, искомые подмножества должны обязательно содержать $\sqrt{2}$ в паре с любым другим элементом множества.
1. Пара из $\sqrt{2}$ и $-8,1$, образующая подмножество $\{-8,1; \sqrt{2}\}$.
2. Пара из $\sqrt{2}$ и $\frac{17}{7}$, образующая подмножество $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.
Ответ: $\{-8,1; \sqrt{2}\}$, $\{\sqrt{2}; \frac{17}{7}\}$.

3.9 Дано множество $A = \{\text{к}, \text{л}, w\}$. Перечислите все его подмножества, состоящие:

a) из одного элемента;

б) из двух элементов;

в) более чем из одного элемента;

г) из элементов, среди которых есть буквы как русского, так и латинского алфавита.

Дано множество $A = \{к, л, w\}$. Подмножество — это множество, все элементы которого содержатся в исходном множестве.

а) из одного элемента;

Подмножества, состоящие из одного элемента, формируются путем взятия каждого элемента исходного множества A по отдельности.
Ответ: {к}, {л}, {w}.

б) из двух элементов;

Подмножества, состоящие из двух элементов, представляют собой все возможные уникальные пары элементов из множества A. Для множества $A = \{к, л, w\}$ такими парами являются:
Ответ: {к, л}, {к, w}, {л, w}.

в) более чем из одного элемента;

Это все подмножества, содержащие два или три элемента. К подмножествам из двух элементов (найденным в пункте б) нужно добавить подмножество, включающее все три элемента исходного множества.
Ответ: {к, л}, {к, w}, {л, w}, {к, л, w}.

г) из элементов, среди которых есть буквы как русского, так и латинского алфавита.

В множестве $A = \{к, л, w\}$ буквы 'к' и 'л' относятся к русскому алфавиту, а 'w' — к латинскому. Требуется найти подмножества, в которых одновременно присутствуют и русская(ие) буква(ы), и латинская. Это означает, что в подмножестве обязательно должен быть элемент 'w' и хотя бы один из элементов 'к' или 'л'.
Ответ: {к, w}, {л, w}, {к, л, w}.