Номер 3.4, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.4 Верно ли, что:

а) $-5 \in N$;

б) $-5 \in Z$;

в) $\sqrt{2} \in Q$;

г) $2,(45) \in Q?$

а) Утверждение $-5 \in \mathbb{N}$ неверно.

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $-5$ является отрицательным целым числом и не входит в это множество.

Ответ: неверно.

б) Утверждение $-5 \in \mathbb{Z}$ верно.

Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Число $-5$ является целым отрицательным числом, следовательно, оно принадлежит множеству $\mathbb{Z}$.

Ответ: верно.

в) Утверждение $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ неверно.

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ — это множество чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Число $\sqrt{2}$ является иррациональным числом. Это означает, что его нельзя представить в виде такой дроби. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью ($1.41421356...$). Следовательно, $\sqrt{2}$ не принадлежит множеству рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Ответ: неверно.

г) Утверждение $2,(45) \in \mathbb{Q}$ верно.

Число $2,(45)$ — это периодическая десятичная дробь, где число 45 является периодом: $2,454545...$. Любая периодическая дробь является рациональным числом, так как ее можно представить в виде обыкновенной дроби. Преобразуем $2,(45)$ в дробь, чтобы это доказать.

Пусть $x = 2,(45)$.
Умножим обе части уравнения на 100, так как в периоде две цифры: $100x = 245,(45)$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 245,(45) - 2,(45)$
$99x = 243$
$x = \frac{243}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{27}{11}$
Так как число $2,(45)$ можно представить в виде дроби $\frac{27}{11}$, оно является рациональным числом и принадлежит множеству $\mathbb{Q}$.

Ответ: верно.