Номер 2.37, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.37 Найдите такое целое значение параметра $p$, при котором множество решений неравенства $x^2(x + 2)(p - x) \ge 0$ содержит:

a) два целых числа;

б) четыре целых числа;

в) три целых числа;

г) пять целых чисел.

Рассмотрим неравенство $x^2(x+2)(p-x) \ge 0$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, знак левой части неравенства определяется знаком выражения $(x+2)(p-x)$. Важно отметить, что $x=0$ всегда является решением неравенства, так как при $x=0$ левая часть обращается в ноль.

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{l}(x+2)(p-x) \ge 0 \\ x=0 \end{array}\right.$

Решим неравенство $(x+2)(p-x) \ge 0$. Это квадратичное неравенство относительно $x$. Корни соответствующего уравнения $(x+2)(p-x)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = p$. Графиком функции $y=(x+2)(p-x)=-x^2+(p-2)x+2p$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, решение неравенства — это промежуток между корнями, включая сами корни.

Проанализируем множество решений в зависимости от целочисленного параметра $p$.

Случай 1: $p < -2$

В этом случае $p < -2$. Решением неравенства $(x+2)(p-x) \ge 0$ является отрезок $[p, -2]$. Полное множество решений исходного неравенства есть $[p, -2] \cup \{0\}$. Поскольку $p$ — целое число и $p < -2$, то $0$ не принадлежит отрезку $[p, -2]$. Целочисленными решениями являются все целые числа от $p$ до $-2$ включительно, а также число $0$. Количество целых чисел на отрезке $[p, -2]$ равно $(-2) - p + 1 = -p - 1$. Общее количество целочисленных решений равно $(-p - 1) + 1 = -p$.

Случай 2: $p = -2$

Неравенство принимает вид $x^2(x+2)(-2-x) \ge 0$, что эквивалентно $-x^2(x+2)^2 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ и $(x+2)^2 \ge 0$, то их произведение $x^2(x+2)^2$ всегда неотрицательно. Следовательно, $-x^2(x+2)^2 \le 0$ для всех $x$. Неравенство $-x^2(x+2)^2 \ge 0$ выполняется только тогда, когда левая часть равна нулю, то есть при $x=0$ или $x=-2$. Множество решений — $\{-2, 0\}$. Оно содержит 2 целых числа.

Случай 3: $p > -2$

В этом случае $-2 < p$. Решением неравенства $(x+2)(p-x) \ge 0$ является отрезок $[-2, p]$. Полное множество решений исходного неравенства есть $[-2, p] \cup \{0\}$.
Если $p=-1$ (единственное целое $p$ в интервале $(-2, 0)$), то множество решений — это $[-2, -1] \cup \{0\}$. Целочисленные решения: $\{-2, -1, 0\}$. Их количество равно 3.
Если $p \ge 0$, то $0 \in [-2, p]$, и множество решений — это просто отрезок $[-2, p]$. Количество целочисленных решений на этом отрезке равно $p - (-2) + 1 = p+3$. Отметим, что при $p=0$ эта формула дает $0+3=3$ решения (числа $-2, -1, 0$), что совпадает с прямым решением.

Теперь найдем значения $p$ для каждого пункта задачи.

а) два целых числа

Требуется найти такое целое $p$, при котором множество решений содержит ровно два целых числа. Из проведенного анализа следует, что это возможно только в Случае 2, то есть при $p=-2$.

Ответ: $p=-2$.

б) четыре целых числа

Ищем целое $p$, при котором количество целых решений равно 4. Рассмотрим возможные случаи:

• Случай 1 ($p < -2$): количество решений равно $-p$. Тогда $-p=4 \implies p=-4$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$.
• Случай 3 ($p \ge 1$): количество решений равно $p+3$. Тогда $p+3=4 \implies p=1$. Это значение удовлетворяет условию $p \ge 1$.

Таким образом, подходят значения $p=-4$ и $p=1$. Выберем одно из них, например $p=1$.

Ответ: $p=1$.

в) три целых числа

Ищем целое $p$, при котором количество целых решений равно 3. Рассмотрим возможные случаи:

• Случай 1 ($p < -2$): количество решений равно $-p$. Тогда $-p=3 \implies p=-3$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$.
• Случай 3 ($p > -2$): при $p=-1$ и $p=0$ количество решений равно 3. Если $p \ge 1$, то $p+3=3 \implies p=0$, что не удовлетворяет условию $p \ge 1$.

Таким образом, подходят значения $p=-3, p=-1, p=0$. Выберем одно из них, например $p=0$.

Ответ: $p=0$.

г) пять целых чисел

Ищем целое $p$, при котором количество целых решений равно 5. Рассмотрим возможные случаи:

• Случай 1 ($p < -2$): количество решений равно $-p$. Тогда $-p=5 \implies p=-5$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$.
• Случай 3 ($p \ge 1$): количество решений равно $p+3$. Тогда $p+3=5 \implies p=2$. Это значение удовлетворяет условию $p \ge 1$.

Таким образом, подходят значения $p=-5$ и $p=2$. Выберем одно из них, например $p=2$.

Ответ: $p=2$.