Номер 2.32, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.32 Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}};$

б) $\sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2}};$

в) $\sqrt{\frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4}};$

г) $\sqrt{\frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15}}.$

Область определения выражения, содержащего квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}} $.
Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} \ge 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $. Корни: $ x_1 = 3, x_2 = -3 $.
Знаменатель: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $. По теореме Виета находим корни: $ x_3 = 2, x_4 = 3 $. Значит, $ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 3)} \ge 0 $.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ x \neq 2 $ и $ x \neq 3 $. Так как $ x \neq 3 $, мы можем сократить дробь на $ (x - 3) $. Неравенство упрощается до: $ \frac{x + 3}{x - 2} \ge 0 $, при условии $ x \neq 3 $.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ x = -3 $. Нули знаменателя: $ x = 2 $. Нанесем точки $ -3, 2, 3 $ на числовую ось. Точка $ -3 $ — закрашенная (неравенство нестрогое), точки $ 2 $ и $ 3 $ — выколотые (нули знаменателя).

Определим знаки выражения на интервалах:
- При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{4+3}{4-2} > 0 $. Интервал подходит.
- При $ 2 < x < 3 $ (например, $ x=2.5 $): $ \frac{2.5+3}{2.5-2} > 0 $. Интервал подходит.
- При $ -3 < x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{0+3}{0-2} < 0 $. Интервал не подходит.
- При $ x < -3 $ (например, $ x=-4 $): $ \frac{-4+3}{-4-2} > 0 $. Интервал подходит.
- В точке $ x = -3 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \ge 0 $.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.

Ответ: $ x \in (-\infty, -3] \cup (2, 3) \cup (3, \infty) $.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2}} $.
Условие: $ \frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2} \ge 0 $.
Чтобы было удобнее, умножим знаменатель на -1 и изменим знак неравенства: $ \frac{2x^2 - 5x + 2}{-(x^2 - 5x + 6)} \ge 0 \implies \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 5x + 6} \le 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $. Дискриминант $ D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 $. Корни $ x = \frac{5 \pm 3}{4} $, то есть $ x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{2} $. Значит, $ 2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) $.
Знаменатель: $ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x-2)(x-1/2)}{(x-2)(x-3)} \le 0 $.
Знаменатель не равен нулю, значит $ x \neq 2 $ и $ x \neq 3 $.
При $ x \neq 2 $, сокращаем дробь на $ (x - 2) $: $ \frac{2(x - 1/2)}{x - 3} \le 0 $.
Решаем методом интервалов. Корни: $ x = 1/2 $ (числитель), $ x = 3 $ (знаменатель). Наносим точки $ 1/2, 2, 3 $ на ось. $ 1/2 $ — закрашенная, $ 2 $ и $ 3 $ — выколотые.

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{2(x-1/2)}{x-3} $ отрицательно или равно нулю (что соответствует исходному неравенству).
- При $ x > 3 $: $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Не подходит.
- При $ 2 < x < 3 $: $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Подходит.
- При $ 1/2 < x < 2 $: $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Подходит.
- При $ x < 1/2 $: $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Не подходит.
- В точке $ x = 1/2 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \le 0 $.
Объединяем интервалы $ [1/2, 2) $ и $ (2, 3) $.

Ответ: $ x \in [1/2, 2) \cup (2, 3) $.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4}} $.
Условие: $ \frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4} \ge 0 $.
Разложим на множители.
Числитель: $ -x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 $. Корни: $ x_1 = 1, x_2 = -2 $. Значит, $ 2 - x - x^2 = -(x-1)(x+2) $.
Знаменатель: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
Неравенство: $ \frac{-(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} \ge 0 $.
Знаменатель не равен нулю, значит $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.
При $ x \neq -2 $, сокращаем дробь на $ (x+2) $: $ \frac{-(x-1)}{x-2} \ge 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{x-1}{x-2} \le 0 $.
Решаем методом интервалов. Корни: $ x = 1 $ (числитель), $ x = 2 $ (знаменатель). Точки на оси: $ -2 $ (выколотая), $ 1 $ (закрашенная), $ 2 $ (выколотая).

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{x-1}{x-2} $ отрицательно или равно нулю.
- При $ x > 2 $: $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Не подходит.
- При $ 1 < x < 2 $: $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Подходит.
- При $ x < 1 $: $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Не подходит.
- В точке $ x = 1 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \le 0 $.
Объединяем точку $ x=1 $ и интервал $ (1, 2) $.

Ответ: $ x \in [1, 2) $.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15}} $.
Условие: $ \frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15} \ge 0 $.
Разложим на множители.
Числитель: $ 3x^2 + 10x + 3 = 0 $. Дискриминант $ D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 $. Корни $ x = \frac{-10 \pm 8}{6} $, то есть $ x_1 = -1/3, x_2 = -3 $. Значит, $ 3x^2 + 10x + 3 = 3(x + 1/3)(x + 3) $.
Знаменатель: $ x^2 + 8x + 15 = 0 $. По теореме Виета корни $ x_3 = -3, x_4 = -5 $. Значит, $ x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5) $.
Неравенство: $ \frac{3(x + 1/3)(x + 3)}{(x+3)(x+5)} \ge 0 $.
Знаменатель не равен нулю: $ x \neq -3 $ и $ x \neq -5 $.
При $ x \neq -3 $, сокращаем на $ (x+3) $: $ \frac{3(x + 1/3)}{x+5} \ge 0 $.
Решаем методом интервалов. Корни: $ x = -1/3 $ (числитель), $ x = -5 $ (знаменатель). Точки на оси: $ -5 $ (выколотая), $ -3 $ (выколотая), $ -1/3 $ (закрашенная).

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{x + 1/3}{x+5} $ положительно или равно нулю.
- При $ x > -1/3 $: $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Подходит.
- При $ -5 < x < -1/3 $: $ \frac{(-)}{(+)} < 0 $. Не подходит (включая точку $ x=-3 $).
- При $ x < -5 $: $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Подходит.
- В точке $ x = -1/3 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \ge 0 $.
Объединяем подходящие множества.

Ответ: $ x \in (-\infty, -5) \cup [-1/3, \infty) $.