Номер 2.26, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.26 a) $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2;$

б) $\frac{2x^2 + x - 16}{x^2 + x} \le 1;$

в) $\frac{1 - x^2}{x^2 + 2x - 8} \ge -1;$

г) $\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2 - 9} < 2.$

а) Решим неравенство $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2$.
Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} - 2 > 0$
$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2(x^2 + 9x + 8)}{x^2 + 9x + 8} > 0$
$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2x^2 - 18x - 16}{x^2 + 9x + 8} > 0$
$\frac{-20}{x^2 + 9x + 8} > 0$
Так как числитель -20 является отрицательным числом, для того чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным: $x^2 + 9x + 8 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$. Разложим на множители: $(x+8)(x+1) < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни -8 и -1 делят числовую прямую на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх, отрицательные значения находятся между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-8, -1)$.
Ответ: $x \in (-8, -1)$.

б) Решим неравенство $\frac{2x^2 + x - 16}{x^2 + x} \le 1$.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 + x - 16}{x^2 + x} - 1 \le 0$
$\frac{2x^2 + x - 16 - (x^2 + x)}{x^2 + x} \le 0$
$\frac{2x^2 + x - 16 - x^2 - x}{x^2 + x} \le 0$
$\frac{x^2 - 16}{x^2 + x} \le 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+1)} \le 0$
Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x=4$, $x=-4$ (эти точки включаем в решение, так как неравенство нестрогое). Нули знаменателя: $x=0$, $x=-1$ (эти точки исключаем из решения, так как на ноль делить нельзя). Отметим точки -4, -1, 0, 4 на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах:
- при $x \in (-\infty, -4]$, выражение $\ge 0$.
- при $x \in [-4, -1)$, выражение $\le 0$.
- при $x \in (-1, 0)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (0, 4]$, выражение $\le 0$.
- при $x \in [4, \infty)$, выражение $\ge 0$.
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-4, -1) \cup (0, 4]$.

в) Решим неравенство $\frac{1 - x^2}{x^2 + 2x - 8} \ge -1$.
Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{1 - x^2}{x^2 + 2x - 8} + 1 \ge 0$
$\frac{1 - x^2 + x^2 + 2x - 8}{x^2 + 2x - 8} \ge 0$
$\frac{2x - 7}{x^2 + 2x - 8} \ge 0$
Разложим знаменатель на множители. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. $\frac{2x - 7}{(x+4)(x-2)} \ge 0$
Применим метод интервалов. Нуль числителя: $2x-7=0 \implies x = 3.5$ (включаем в решение). Нули знаменателя: $x=-4$, $x=2$ (исключаем из решения). Отметим точки -4, 2, 3.5 на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:
- при $x \in (-\infty, -4)$, выражение $< 0$.
- при $x \in (-4, 2)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (2, 3.5]$, выражение $\le 0$.
- при $x \in [3.5, \infty)$, выражение $\ge 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-4, 2) \cup [3.5, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2 - 9} < 2$.
Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2 - 9} - 2 < 0$
$\frac{x^2 + 3x + 10 - 2(x^2 - 9)}{x^2 - 9} < 0$
$\frac{x^2 + 3x + 10 - 2x^2 + 18}{x^2 - 9} < 0$
$\frac{-x^2 + 3x + 28}{x^2 - 9} < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x^2 - 3x - 28}{x^2 - 9} > 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя $x^2 - 3x - 28 = 0$: по теореме Виета $x_1 = 7, x_2 = -4$. Корни знаменателя $x^2 - 9 = 0$: $x_3 = 3, x_4 = -3$. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-7)(x+4)}{(x-3)(x+3)} > 0$
Применим метод интервалов. Все точки (-4, -3, 3, 7) будут выколотыми, так как неравенство строгое. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:
- при $x \in (-\infty, -4)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (-4, -3)$, выражение $< 0$.
- при $x \in (-3, 3)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (3, 7)$, выражение $< 0$.
- при $x \in (7, \infty)$, выражение $> 0$.
Выбираем интервалы, где выражение строго больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 3) \cup (7, \infty)$.