Номер 2.23, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.23 a) $(x - 1)^2 (x^2 + 4x - 12) < 0;$

б) $(x + 2)(x^2 - 6x - 16) > 0;$

В) $(x + 3)^2 (x^2 - 10x + 21) \ge 0;$

Г) $(x - 1)(x^2 - 7x + 6) \ge 0.$

а) $(x - 1)^2(x^2 + 4x - 12) < 0$
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то $(x - 1)^2$ не может быть равен нулю. Следовательно, $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.
При $x \ne 1$ множитель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Значит, знак всего выражения зависит только от знака второго множителя. Неравенство сводится к следующему:
$x^2 + 4x - 12 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$, $x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$.
Парабола $y = x^2 + 4x - 12$ с ветвями вверх принимает отрицательные значения между корнями. Решением неравенства $x^2 + 4x - 12 < 0$ является интервал $(-6, 2)$.
Учитывая условие $x \ne 1$, мы должны исключить эту точку из полученного интервала.
Ответ: $x \in (-6, 1) \cup (1, 2)$.

б) $(x + 2)(x^2 - 6x - 16) > 0$
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 16$ на множители. Для этого найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 6x - 16 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$, $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$.
Следовательно, $x^2 - 6x - 16 = (x - (-2))(x - 8) = (x + 2)(x - 8)$.
Подставим это в исходное неравенство:
$(x + 2)(x + 2)(x - 8) > 0$
$(x + 2)^2(x - 8) > 0$
Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $(x + 2)^2 \ne 0$, что означает $x \ne -2$.
При $x \ne -2$ множитель $(x + 2)^2$ положителен, поэтому знак всего выражения зависит от знака множителя $(x - 8)$. Неравенство сводится к:
$x - 8 > 0$
$x > 8$
Полученное решение $x > 8$ удовлетворяет условию $x \ne -2$.
Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

в) $(x + 3)^2(x^2 - 10x + 21) \ge 0$
Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -3$. Эта точка является решением, так как $0 \ge 0$.
При $x \ne -3$, множитель $(x + 3)^2$ положителен. Тогда неравенство сводится к $x^2 - 10x + 21 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=7$.
Парабола $y = x^2 - 10x + 21$ с ветвями вверх, поэтому она неотрицательна при $x$ вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Решение неравенства $x^2 - 10x + 21 \ge 0$ есть $x \in (-\infty, 3] \cup [7, +\infty)$.
Объединим это решение с решением $x=-3$. Поскольку точка $x=-3$ уже входит в промежуток $(-\infty, 3]$, то итоговое решение не меняется.
Ответ: $x \in (-\infty, 3] \cup [7, +\infty)$.

г) $(x - 1)(x^2 - 7x + 6) \ge 0$
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 6$. Решим уравнение $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Следовательно, $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.
Подставим разложение в исходное неравенство:
$(x - 1)(x - 1)(x - 6) \ge 0$
$(x - 1)^2(x - 6) \ge 0$
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1) Когда $(x-1)^2 = 0$, то есть $x=1$. При этом неравенство становится $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=1$ — это решение.
2) Когда $(x-1)^2 > 0$ (то есть $x \ne 1$), неравенство сводится к $x - 6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$.
Объединяем полученные решения: $x=1$ и $x \ge 6$.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [6, +\infty)$.