Номер 2.17, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.17 а) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \ge 0;$

Б) $\frac{x(x^2 - 16)}{x^2 - 9} \le 0;$

В) $\frac{x^2 - 169}{x^2 - 100} \le 0;$

Г) $\frac{x^2 - 49}{x(x^2 - 144)} > 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \ge 0$.
1. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \ge 0$.
2. Найдем нули числителя (точки, в которых выражение равно нулю) и нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено).
Нули числителя: $(x-2)(x+2) = 0$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки включаются в решение и на числовой оси отмечаются закрашенными кружками.
Нули знаменателя: $(x-3)(x+3) = 0$, откуда $x_3 = 3$, $x_4 = -3$. Эти точки не входят в область допустимых значений (ОДЗ), поэтому они всегда исключаются из решения и на числовой оси отмечаются выколотыми (пустыми) кружками.
3. Отметим все найденные точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из получившихся интервалов.
Ось будет разделена точками -3, -2, 2, 3 на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2]$, $[-2; 2]$, $[2; 3)$, $(3; +\infty)$.
- В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(2; 3)$ возьмем $x=2.5$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$.
- В интервале $[-2; 2]$ возьмем $x=0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} > 0$.
- В интервале $(-3; -2)$ возьмем $x=-2.5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(-\infty; -3)$ возьмем $x=-4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$).
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 2] \cup (3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x(x^2 - 16)}{x^2 - 9} \le 0$.
1. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{x(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)} \le 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя (включаются в решение): $x(x-4)(x+4)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=4$, $x_3=-4$.
Нули знаменателя (исключаются из решения): $(x-3)(x+3)=0$, откуда $x_4=3$, $x_5=-3$.
3. Отметим точки -4, -3, 0, 3, 4 на числовой оси и определим знаки.
Интервалы: $(-\infty; -4]$, $[-4; -3)$, $(-3; 0]$, $[0; 3)$, $(3; 4]$, $[4; +\infty)$.
- В интервале $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{(+)(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(3; 4)$ возьмем $x=3.5$: $\frac{(+)(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.
- В интервале $(0; 3)$ возьмем $x=1$: $\frac{(+)(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-3; 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{(-)(-)(+)}{(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(-4; -3)$ возьмем $x=-3.5$: $\frac{(-)(-)(+)}{(-)(-)} > 0$.
- В интервале $(-\infty; -4)$ возьмем $x=-5$: $\frac{(-)(-)(-)}{(-)(-)} < 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup (-3; 0] \cup (3; 4]$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2 - 169}{x^2 - 100} \le 0$.
1. Разложим на множители числитель и знаменатель:
$\frac{(x-13)(x+13)}{(x-10)(x+10)} \le 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя (включаются): $(x-13)(x+13)=0$, откуда $x_1=13$, $x_2=-13$.
Нули знаменателя (исключаются): $(x-10)(x+10)=0$, откуда $x_3=10$, $x_4=-10$.
3. Отметим точки -13, -10, 10, 13 на числовой оси и определим знаки.
Интервалы: $(-\infty; -13]$, $[-13; -10)$, $(-10; 10)$, $(10; 13]$, $[13; +\infty)$.
- В интервале $(13; +\infty)$ возьмем $x=14$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(10; 13)$ возьмем $x=11$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.
- В интервале $(-10; 10)$ возьмем $x=0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-13; -10)$ возьмем $x=-11$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$.
- В интервале $(-\infty; -13)$ возьмем $x=-14$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Ответ: $x \in [-13; -10) \cup (10; 13]$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 - 49}{x(x^2 - 144)} > 0$.
1. Разложим на множители числитель и знаменатель:
$\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-12)(x+12)} > 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя. Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми (не включаются в решение).
Нули числителя: $(x-7)(x+7)=0$, откуда $x_1=7$, $x_2=-7$.
Нули знаменателя: $x(x-12)(x+12)=0$, откуда $x_3=0$, $x_4=12$, $x_5=-12$.
3. Отметим точки -12, -7, 0, 7, 12 на числовой оси и определим знаки.
Интервалы: $(-\infty; -12)$, $(-12; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 7)$, $(7; 12)$, $(12; +\infty)$.
- В интервале $(12; +\infty)$ возьмем $x=13$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(7; 12)$ возьмем $x=10$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(0; 7)$ возьмем $x=1$: $\frac{(-)(+)}{(+)(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-7; 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(-12; -7)$ возьмем $x=-10$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-\infty; -12)$ возьмем $x=-13$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)(-)} < 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение строго больше нуля ($> 0$).
Ответ: $x \in (-12; -7) \cup (0; 7) \cup (12; +\infty)$.