Номер 2.10, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.10 a) $\frac{3x - 2}{2x - 3} > 3;$

б) $\frac{x + 3}{x - 2} < 1;$

В) $\frac{7x - 4}{x + 2} \ge 1;$

Г) $\frac{7x - 5}{x + 5} < 7.$

а)

Решим неравенство $\frac{3x - 2}{2x - 3} > 3$.

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x - 2}{2x - 3} - 3 > 0$

$\frac{3x - 2 - 3(2x - 3)}{2x - 3} > 0$

$\frac{3x - 2 - 6x + 9}{2x - 3} > 0$

$\frac{-3x + 7}{2x - 3} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $-3x + 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$.

Корень знаменателя: $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}; \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}; +\infty)$.

При $x < \frac{3}{2}$, например $x=0$, получаем $\frac{7}{-3} < 0$.

При $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$, например $x=2$, получаем $\frac{-6+7}{4-3} = 1 > 0$.

При $x > \frac{7}{3}$, например $x=3$, получаем $\frac{-9+7}{6-3} = -\frac{2}{3} < 0$.

Нам нужны значения, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; \frac{7}{3})$.

б)

Решим неравенство $\frac{x + 3}{x - 2} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 3}{x - 2} - 1 < 0$

$\frac{x + 3 - (x - 2)}{x - 2} < 0$

$\frac{x + 3 - x + 2}{x - 2} < 0$

$\frac{5}{x - 2} < 0$

Числитель дроби — положительное число (5). Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 2 < 0$

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в)

Решим неравенство $\frac{7x - 4}{x + 2} \ge 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{7x - 4}{x + 2} - 1 \ge 0$

$\frac{7x - 4 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0$

$\frac{7x - 4 - x - 2}{x + 2} \ge 0$

$\frac{6x - 6}{x + 2} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $6x - 6 = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

Корень знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Эта точка не включается в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$ и $[1; +\infty)$.

При $x < -2$, например $x=-3$, получаем $\frac{6(-3)-6}{-3+2} = \frac{-24}{-1} = 24 > 0$.

При $-2 < x < 1$, например $x=0$, получаем $\frac{-6}{2} = -3 < 0$.

При $x \ge 1$, например $x=2$, получаем $\frac{6(2)-6}{2+2} = \frac{6}{4} > 0$.

Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{7x - 5}{x + 5} < 7$.

Перенесем 7 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{7x - 5}{x + 5} - 7 < 0$

$\frac{7x - 5 - 7(x + 5)}{x + 5} < 0$

$\frac{7x - 5 - 7x - 35}{x + 5} < 0$

$\frac{-40}{x + 5} < 0$

Числитель дроби — отрицательное число (-40). Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным:

$x + 5 > 0$

$x > -5$

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.