Номер 2.3, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.3 a) $x^2 - x > 0;$

б) $2x + x^2 \le 0;$

В) $x^2 - 3x \ge 0;$

Г) $5x + x^2 < 0.$

а) $x^2 - x > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Значит, функция принимает положительные значения ($y > 0$) вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) $2x + x^2 \le 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $x^2 + 2x \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).

Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни, так как в этих точках функция равна нулю.

Ответ: $x \in [-2; 0]$.

в) $x^2 - 3x \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) в точках, лежащих на оси Ох и выше нее, то есть вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.

г) $5x + x^2 < 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $x^2 + 5x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) строго между корнями.

Ответ: $x \in (-5; 0)$.